Trigonométrie Exemples

$y = - 2 \sin (\frac{x}{3} + π) + 2$

Étape 1

Utilisez la forme $a \sin (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = - 2$

$b = \frac{1}{3}$

$c = - π$

$d = 2$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $2$

Étape 3

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Étape 3.1

Déterminez la période de $- 2 \sin (\frac{x}{3} + π)$ .

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Étape 3.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.1.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Étape 3.1.3

$\frac{1}{3}$ est d’environ $0.\overline{3}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Étape 3.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 3$

Étape 3.1.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 π$

Étape 3.2

Déterminez la période de $2$ .

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Étape 3.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Étape 3.2.3

$\frac{1}{3}$ est d’environ $0.\overline{3}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Étape 3.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \cdot 3$

Étape 3.2.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 π$

Étape 3.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$6 π$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{- π}{\frac{1}{3}}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $- π \cdot 3$

Étape 4.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

Déphasage : $- 3 π$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $2$

Période : $6 π$

Déphasage : $- 3 π$ ( $3 π$ à gauche)

Décalage vertical : $2$

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = - 3 π$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3 π$ dans l’expression.

$f (- 3 π) = - 2 \sin (\frac{- 3 π}{3} + π) + 2$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 6.1.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 π$ .

$f (- 3 π) = - 2 \sin (\frac{3 (- π)}{3} + π) + 2$

Étape 6.1.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (- 3 π) = - 2 \sin (\frac{3 (- π)}{3 (1)} + π) + 2$

Étape 6.1.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 3 π) = - 2 \sin (\frac{3 (- π)}{3 \cdot 1} + π) + 2$

Étape 6.1.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 3 π) = - 2 \sin (\frac{- π}{1} + π) + 2$

Étape 6.1.2.1.1.2.4

Divisez $- π$ par $1$ .

$f (- 3 π) = - 2 \sin (- π + π) + 2$

Étape 6.1.2.1.2

Additionnez $- π$ et $π$ .

$f (- 3 π) = - 2 \sin (0) + 2$

Étape 6.1.2.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (- 3 π) = - 2 \cdot 0 + 2$

Étape 6.1.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (- 3 π) = 0 + 2$

Étape 6.1.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (- 3 π) = 2$

Étape 6.1.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = - \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{- \frac{3 π}{2}}{3} + π) + 2$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (- \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + π) + 2$

Étape 6.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 π}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{- 3 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + π) + 2$

Étape 6.2.2.1.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 π$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{3 (- π)}{2} \cdot \frac{1}{3} + π) + 2$

Étape 6.2.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{3 (- π)}{2} \cdot \frac{1}{3} + π) + 2$

Étape 6.2.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{- π}{2} + π) + 2$

Étape 6.2.2.1.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (- \frac{π}{2} + π) + 2$

Étape 6.2.2.1.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (- \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Étape 6.2.2.1.3

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (- \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) + 2$

Étape 6.2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{- π + π \cdot 2}{2}) + 2$

Étape 6.2.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{- π + 2 \cdot π}{2}) + 2$

Étape 6.2.2.1.5.2

Additionnez $- π$ et $2 π$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{π}{2}) + 2$

Étape 6.2.2.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 \cdot 1 + 2$

Étape 6.2.2.1.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = - 2 + 2$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (- \frac{3 π}{2}) = 0$

Étape 6.2.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = 0$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = - 2 \sin (\frac{0}{3} + π) + 2$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.1

Divisez $0$ par $3$ .

$f (0) = - 2 \sin (0 + π) + 2$

Étape 6.3.2.1.2

Additionnez $0$ et $π$ .

$f (0) = - 2 \sin (π) + 2$

Étape 6.3.2.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (0) = - 2 \sin (0) + 2$

Étape 6.3.2.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (0) = - 2 \cdot 0 + 2$

Étape 6.3.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Étape 6.3.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (0) = 2$

Étape 6.3.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3} + π) + 2$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + π) + 2$

Étape 6.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.2.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3} + π) + 2$

Étape 6.4.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3} + π) + 2$

Étape 6.4.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{π}{2} + π) + 2$

Étape 6.4.2.1.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) + 2$

Étape 6.4.2.1.3

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) + 2$

Étape 6.4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2}) + 2$

Étape 6.4.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.1.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2}) + 2$

Étape 6.4.2.1.5.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + 2$

Étape 6.4.2.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + 2$

Étape 6.4.2.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 (- 1 \cdot 1) + 2$

Étape 6.4.2.1.8

Multipliez $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.4.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cdot - 1 + 2$

Étape 6.4.2.1.8.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2 + 2$

Étape 6.4.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 4$

Étape 6.4.2.3

La réponse finale est $4$ .

$4$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = 3 π$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $3 π$ dans l’expression.

$f (3 π) = - 2 \sin (\frac{3 π}{3} + π) + 2$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (3 π) = - 2 \sin (\frac{3 π}{3} + π) + 2$

Étape 6.5.2.1.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (3 π) = - 2 \sin (π + π) + 2$

Étape 6.5.2.1.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$f (3 π) = - 2 \sin (2 π) + 2$

Étape 6.5.2.1.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (3 π) = - 2 \sin (0) + 2$

Étape 6.5.2.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f (3 π) = - 2 \cdot 0 + 2$

Étape 6.5.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (3 π) = 0 + 2$

Étape 6.5.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (3 π) = 2$

Étape 6.5.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 3 π & 2 \\ - \frac{3 π}{2} & 0 \\ 0 & 2 \\ \frac{3 π}{2} & 4 \\ 3 π & 2 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $2$

Période : $6 π$

Déphasage : $- 3 π$ ( $3 π$ à gauche)

Décalage vertical : $2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - 3 π & 2 \\ - \frac{3 π}{2} & 0 \\ 0 & 2 \\ \frac{3 π}{2} & 4 \\ 3 π & 2 \end{array}$

Étape 8