Trigonométrie Exemples

$(- 4, - \frac{π}{2})$

Étape 1

Pour déterminer le $\cos (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(- 4, - \frac{π}{2})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(- 4, 0)$ et $(- 4, - \frac{π}{2})$ .

Opposé : $- \frac{π}{2}$

Adjacent : $- 4$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + {(- \frac{π}{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{π}{2}$ .

$\sqrt{16 + {(- 1)}^{2} {(\frac{π}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{π}{2}$ .

$\sqrt{16 + {(- 1)}^{2} \frac{π^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + 1 \frac{π^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{π^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{16 + \frac{π^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + \frac{π^{2}}{4}}$

Étape 2.6

Pour écrire $16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{16 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}$

Étape 2.7

Associez $16$ et $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}$

Étape 2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{16 \cdot 4 + π^{2}}{4}}$

Étape 2.8.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{64 + π^{2}}{4}}$

Étape 2.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{64 + π^{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 2.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.10.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 2.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{2}$

Étape 3

$\cos (θ) = \frac{Adjacent}{Hypoténuse}$ donc $\cos (θ) = \frac{- 4}{\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{2}}$ .

$\frac{- 4}{\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{2}}$

Étape 4

Simplifiez $\cos (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cos (θ) = - 4 \frac{2}{\sqrt{64 + π^{2}}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ .

$\cos (θ) = - 4 (\frac{2}{\sqrt{64 + π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}}})$

Étape 4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ .

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}} \sqrt{64 + π^{2}}}$

Étape 4.3.2

Élevez $\sqrt{64 + π^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}} \sqrt{64 + π^{2}}}$

Étape 4.3.3

Élevez $\sqrt{64 + π^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}} \sqrt{64 + π^{2}}}$

Étape 4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{\sqrt{64 + π^{2}}}^{1 + 1}}$

Étape 4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{\sqrt{64 + π^{2}}}^{2}}$

Étape 4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{64 + π^{2}}}^{2}$ comme $64 + π^{2}$ .

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Étape 4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{64 + π^{2}}$ comme ${(64 + π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{({(64 + π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{(64 + π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{(64 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{(64 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$

Étape 4.3.6.5

Simplifiez

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $- 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$ .

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Étape 4.4.1

Associez $- 4$ et $\frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{- 4 (2 \sqrt{64 + π^{2}})}{64 + π^{2}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\cos (θ) = \frac{- 8 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$

Étape 4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (θ) = - \frac{8 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\cos (θ) = - \frac{8 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}} \approx - 0.93080155$