Trigonométrie Exemples

$(4, - 2 \sqrt{3})$

Étape 1

Pour déterminer le $\cos (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(4, - 2 \sqrt{3})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(4, 0)$ et $(4, - 2 \sqrt{3})$ .

Opposé : $- 2 \sqrt{3}$

Adjacent : $4$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + {(- 2 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{16 + {(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{16 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{16 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{16 + 4 \cdot 3^{1}}$

Étape 2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{16 + 4 \cdot 3}$

Étape 2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\sqrt{16 + 12}$

Étape 2.3.2

Additionnez $16$ et $12$ .

$\sqrt{28}$

Étape 2.4

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$\sqrt{4 (7)}$

Étape 2.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Étape 2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{7}$

Étape 3

$\cos (θ) = \frac{Adjacent}{Hypoténuse}$ donc $\cos (θ) = \frac{4}{2 \sqrt{7}}$ .

$\frac{4}{2 \sqrt{7}}$

Étape 4

Simplifiez $\cos (θ)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{7}}$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{7}$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{7})}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{7}}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{2}{\sqrt{7}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\cos (θ) = \frac{2}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 4.3.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 4.3.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

Étape 4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7} \approx 0.75592894$