Trigonométrie Exemples

$(- 3, \frac{- 2 π}{3})$

Étape 1

Pour déterminer le $\cos (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(- 3, \frac{- 2 π}{3})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(- 3, 0)$ et $(- 3, \frac{- 2 π}{3})$ .

Opposé : $\frac{- 2 π}{3}$

Adjacent : $- 3$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + {(\frac{- 2 π}{3})}^{2}}$

Étape 2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{9 + {(- \frac{2 π}{3})}^{2}}$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2 π}{3}$ .

$\sqrt{9 + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 π}{3}$ .

$\sqrt{9 + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de produit à $2 π$ .

$\sqrt{9 + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + 1 \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{9 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{9 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

Étape 2.8

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{9 \cdot \frac{9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

Étape 2.9

Associez $9$ et $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 9 + 4 π^{2}}{9}}$

Étape 2.10.2

Multipliez $9$ par $9$ .

$\sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$

Étape 2.11

Réécrivez $\sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

Étape 2.12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.12.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 2.12.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

Étape 3

$\cos (θ) = \frac{Adjacent}{Hypoténuse}$ donc $\cos (θ) = \frac{- 3}{\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}}$ .

$\frac{- 3}{\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}}$

Étape 4

Simplifiez $\cos (θ)$ .

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Étape 4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cos (θ) = - 3 \frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ .

$\cos (θ) = - 3 (\frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}})$

Étape 4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}} \sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

Étape 4.3.2

Élevez $\sqrt{81 + 4 π^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}} \sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

Étape 4.3.3

Élevez $\sqrt{81 + 4 π^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}} \sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

Étape 4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}^{1 + 1}}$

Étape 4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}^{2}}$

Étape 4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{81 + 4 π^{2}}}^{2}$ comme $81 + 4 π^{2}$ .

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Étape 4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{81 + 4 π^{2}}$ comme ${(81 + 4 π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{({(81 + 4 π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{(81 + 4 π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{(81 + 4 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{(81 + 4 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

Étape 4.3.6.5

Simplifiez

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $- 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$ .

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Étape 4.4.1

Associez $- 3$ et $\frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{- 3 (3 \sqrt{81 + 4 π^{2}})}{81 + 4 π^{2}}$

Étape 4.4.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\cos (θ) = \frac{- 9 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

Étape 4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (θ) = - \frac{9 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\cos (θ) = - \frac{9 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}} \approx - 0.81995096$