Trigonométrie Exemples

$(5, 3)$ , $(5, - 1)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 5 \cdot 5 + 3 \cdot - 1$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 25 + 3 \cdot - 1$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 25 - 3$

Étape 2.2.2

Soustrayez $3$ de $25$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 22$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{5^{2} + 3^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25 + 3^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25 + 9}$

Étape 3.2.3

Additionnez $25$ et $9$ .

$| a⃗ | = \sqrt{34}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 1}$

Étape 4.2.3

Additionnez $25$ et $1$ .

$| b⃗ | = \sqrt{26}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{22}{\sqrt{34} \sqrt{26}})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (\frac{22}{\sqrt{34 \cdot 26}})$

Étape 6.1.2

Multipliez $34$ par $26$ .

$θ = \arccos (\frac{22}{\sqrt{884}})$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Réécrivez $884$ comme $2^{2} \cdot 221$ .

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Étape 6.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $884$ .

$θ = \arccos (\frac{22}{\sqrt{4 (221)}})$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{22}{\sqrt{2^{2} \cdot 221}})$

Étape 6.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$θ = \arccos (\frac{22}{2 \sqrt{221}})$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $22$ et $2$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 \sqrt{221}})$

Étape 6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{221}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 (\sqrt{221})})$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 11}{2 \sqrt{221}})$

Étape 6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{11}{\sqrt{221}})$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{11}{\sqrt{221}}$ par $\frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11}{\sqrt{221}} \cdot \frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}})$

Étape 6.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.5.1

Multipliez $\frac{11}{\sqrt{221}}$ par $\frac{\sqrt{221}}{\sqrt{221}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{221}}{\sqrt{221} \sqrt{221}})$

Étape 6.5.2

Élevez $\sqrt{221}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1} \sqrt{221}})$

Étape 6.5.3

Élevez $\sqrt{221}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1} {\sqrt{221}}^{1}})$

Étape 6.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{1 + 1}})$

Étape 6.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{221}}{{\sqrt{221}}^{2}})$

Étape 6.5.6

Réécrivez ${\sqrt{221}}^{2}$ comme $221$ .

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Étape 6.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{221}$ comme $221^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{221}}{{(221^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{221}}{221^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{221}}{221^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{221}}{221^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{221}}{221^{1}})$

Étape 6.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{11 \sqrt{221}}{221})$

Étape 6.6

Évaluez $\arccos (\frac{11 \sqrt{221}}{221})$ .

$θ = 42.273689$