Trigonométrie Exemples

$(- 5, 12)$ , $(3, 2)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 5 \cdot 3 + 12 \cdot 2$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 15 + 12 \cdot 2$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $12$ par $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 15 + 24$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 15$ et $24$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 9$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 12^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25 + 12^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{25 + 144}$

Étape 3.2.3

Additionnez $25$ et $144$ .

$| a⃗ | = \sqrt{169}$

Étape 3.2.4

Réécrivez $169$ comme $13^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{13^{2}}$

Étape 3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| a⃗ | = 13$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} + 2^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 2^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 4}$

Étape 4.2.3

Additionnez $9$ et $4$ .

$| b⃗ | = \sqrt{13}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{9}{13 \sqrt{13}})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{9}{13 \sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9}{13 \sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})$

Étape 6.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $\frac{9}{13 \sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \sqrt{13} \sqrt{13}})$

Étape 6.2.2

Déplacez $\sqrt{13}$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 (\sqrt{13} \sqrt{13})})$

Étape 6.2.3

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})})$

Étape 6.2.4

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})})$

Étape 6.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 {\sqrt{13}}^{1 + 1}})$

Étape 6.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 {\sqrt{13}}^{2}})$

Étape 6.2.7

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 6.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \cdot 13^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \cdot 13^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \cdot 13^{1}})$

Étape 6.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{13 \cdot 13})$

Étape 6.3

Multipliez $13$ par $13$ .

$θ = \arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{169})$

Étape 6.4

Évaluez $\arccos (\frac{9 \sqrt{13}}{169})$ .

$θ = 78.92979742$