Trigonométrie Exemples

$a = (- 8, 8)$ , $b = (- 6, 2)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 \cdot - 6 + 8 \cdot 2$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 8$ par $- 6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 48 + 8 \cdot 2$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 48 + 16$

Étape 2.2.2

Additionnez $48$ et $16$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 64$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 8)}^{2} + 8^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{64 + 8^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{64 + 64}$

Étape 3.2.3

Additionnez $64$ et $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{128}$

Étape 3.2.4

Réécrivez $128$ comme $8^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.2.4.1

Factorisez $64$ à partir de $128$ .

$| a⃗ | = \sqrt{64 (2)}$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{8^{2} \cdot 2}$

Étape 3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| a⃗ | = 8 \sqrt{2}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 6)}^{2} + 2^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{36 + 2^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{36 + 4}$

Étape 4.2.3

Additionnez $36$ et $4$ .

$| b⃗ | = \sqrt{40}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $40$ comme $2^{2} \cdot 10$ .

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (10)}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{10}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{64}{8 \sqrt{2} (2 \sqrt{10})})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $64$ et $8$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $8$ à partir de $64$ .

$θ = \arccos (\frac{8 \cdot 8}{8 \sqrt{2} (2 \sqrt{10})})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8 \sqrt{2} (2 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{8 \cdot 8}{8 (\sqrt{2} (2 \sqrt{10}))})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{8 \cdot 8}{8 (\sqrt{2} (2 \sqrt{10}))})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{8}{\sqrt{2} (2 \sqrt{10})})$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 4}{\sqrt{2} (2 \sqrt{10})})$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $\sqrt{2} (2 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 4}{2 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 4}{2 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{2} (\sqrt{10})})$

Étape 6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{2 \cdot 10}})$

Étape 6.3.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{20}})$

Étape 6.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.1

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{4 (5)}})$

Étape 6.4.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}})$

Étape 6.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$θ = \arccos (\frac{4}{2 \sqrt{5}})$

Étape 6.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}})$

Étape 6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{5}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{5})})$

Étape 6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}})$

Étape 6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{5}})$

Étape 6.6

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 6.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.7.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Étape 6.7.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Étape 6.7.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Étape 6.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Étape 6.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Étape 6.7.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 6.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}})$

Étape 6.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Étape 6.8

Évaluez $\arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

$θ = 26.56505117$