Trigonométrie Exemples

(6, 10)

$(6, 10)$ ,

(12, 5)

$(12, 5)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 12 + 10 \cdot 5

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 12 + 10 \cdot 5$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez

6

$6$ par

12

$12$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 10 \cdot 5

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 10 \cdot 5$

Étape 2.2.1.2

Multipliez

10

$10$ par

5

$5$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 50

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 50$

a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 50

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 50$

Étape 2.2.2

Additionnez

72

$72$ et

50

$50$ .

a⃗ \cdot b⃗ = 122

$a⃗ \cdot b⃗ = 122$

a⃗ \cdot b⃗ = 122

$a⃗ \cdot b⃗ = 122$

a⃗ \cdot b⃗ = 122

$a⃗ \cdot b⃗ = 122$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de

a⃗

$a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 10^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 10^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez

6

$6$ à la puissance

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{36 + 10^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 10^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez

10

$10$ à la puissance

2

$2$ .

| a⃗ | = \sqrt{36 + 100}

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 100}$

Étape 3.2.3

Additionnez

36

$36$ et

100

$100$ .

| a⃗ | = \sqrt{136}

$| a⃗ | = \sqrt{136}$

Étape 3.2.4

Réécrivez

136

$136$ comme

2^{2} \cdot 34

$2^{2} \cdot 34$ .

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Étape 3.2.4.1

Factorisez

4

$4$ à partir de

136

$136$ .

| a⃗ | = \sqrt{4 (34)}

$| a⃗ | = \sqrt{4 (34)}$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez

4

$4$ comme

2^{2}

$2^{2}$ .

| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 34}

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 34}$

| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 34}

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 34}$

Étape 3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

| a⃗ | = 2 \sqrt{34}

$| a⃗ | = 2 \sqrt{34}$

| a⃗ | = 2 \sqrt{34}

$| a⃗ | = 2 \sqrt{34}$

| a⃗ | = 2 \sqrt{34}

$| a⃗ | = 2 \sqrt{34}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de

b⃗

$b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{12^{2} + 5^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{12^{2} + 5^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez

12

$12$ à la puissance

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{144 + 5^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{144 + 5^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez

5

$5$ à la puissance

2

$2$ .

| b⃗ | = \sqrt{144 + 25}

$| b⃗ | = \sqrt{144 + 25}$

Étape 4.2.3

Additionnez

144

$144$ et

25

$25$ .

| b⃗ | = \sqrt{169}

$| b⃗ | = \sqrt{169}$

Étape 4.2.4

Réécrivez

169

$169$ comme

13^{2}

$13^{2}$ .

| b⃗ | = \sqrt{13^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{13^{2}}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

| b⃗ | = 13

$| b⃗ | = 13$

| b⃗ | = 13

$| b⃗ | = 13$

| b⃗ | = 13

$| b⃗ | = 13$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

θ = \arccos (\frac{122}{2 \sqrt{34} \cdot 13})

$θ = \arccos (\frac{122}{2 \sqrt{34} \cdot 13})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à

122

$122$ et

2

$2$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

122

$122$ .

θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 \sqrt{34} \cdot 13})

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 \sqrt{34} \cdot 13})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

2 \sqrt{34} \cdot 13

$2 \sqrt{34} \cdot 13$ .

θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})

$θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})$

θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})

$θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})$

θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})

$θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})$

Étape 6.2

Déplacez

13

$13$ à gauche de

\sqrt{34}

$\sqrt{34}$ .

θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}})

$θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}})$

Étape 6.3

Multipliez

\frac{61}{13 \sqrt{34}}

$\frac{61}{13 \sqrt{34}}$ par

\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})

$θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})$

Étape 6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez

\frac{61}{13 \sqrt{34}}

$\frac{61}{13 \sqrt{34}}$ par

\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \sqrt{34} \sqrt{34}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \sqrt{34} \sqrt{34}})$

Étape 6.4.2

Déplacez

\sqrt{34}

$\sqrt{34}$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 (\sqrt{34} \sqrt{34})})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 (\sqrt{34} \sqrt{34})})$

Étape 6.4.3

Élevez

\sqrt{34}

$\sqrt{34}$ à la puissance

1

$1$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34})})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34})})$

Étape 6.4.4

Élevez

\sqrt{34}

$\sqrt{34}$ à la puissance

1

$1$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1})})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1})})$

Étape 6.4.5

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{1 + 1}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{1 + 1}})$

Étape 6.4.6

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{2}})$

Étape 6.4.7

Réécrivez

{\sqrt{34}}^{2}

${\sqrt{34}}^{2}$ comme

34

$34$ .

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Étape 6.4.7.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{34}

$\sqrt{34}$ comme

34^{\frac{1}{2}}

$34^{\frac{1}{2}}$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.4.7.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.7.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 6.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{1}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{1}})$

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{1}})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{1}})$

Étape 6.4.7.5

Évaluez l’exposant.

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})$

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})$

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})$

Étape 6.5

Multipliez

13

$13$ par

34

$34$ .

θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})$

Étape 6.6

Évaluez

\arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})

$\arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})$ .

θ = 36.41637851

$θ = 36.41637851$

θ = 36.41637851

$θ = 36.41637851$