Trigonométrie Exemples

$(6, 10)$ , $(12, 5)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 12 + 10 \cdot 5$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $6$ par $12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 10 \cdot 5$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $10$ par $5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 50$

Étape 2.2.2

Additionnez $72$ et $50$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 122$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 10^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 10^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 100}$

Étape 3.2.3

Additionnez $36$ et $100$ .

$| a⃗ | = \sqrt{136}$

Étape 3.2.4

Réécrivez $136$ comme $2^{2} \cdot 34$ .

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Étape 3.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $136$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 (34)}$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 34}$

Étape 3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| a⃗ | = 2 \sqrt{34}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{12^{2} + 5^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{144 + 5^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{144 + 25}$

Étape 4.2.3

Additionnez $144$ et $25$ .

$| b⃗ | = \sqrt{169}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $169$ comme $13^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{13^{2}}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| b⃗ | = 13$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{122}{2 \sqrt{34} \cdot 13})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $122$ et $2$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $122$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 \sqrt{34} \cdot 13})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{34} \cdot 13$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})$

Étape 6.2

Déplacez $13$ à gauche de $\sqrt{34}$ .

$θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}})$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{61}{13 \sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})$

Étape 6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{61}{13 \sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \sqrt{34} \sqrt{34}})$

Étape 6.4.2

Déplacez $\sqrt{34}$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 (\sqrt{34} \sqrt{34})})$

Étape 6.4.3

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34})})$

Étape 6.4.4

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1})})$

Étape 6.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{1 + 1}})$

Étape 6.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{2}})$

Étape 6.4.7

Réécrivez ${\sqrt{34}}^{2}$ comme $34$ .

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Étape 6.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{34}$ comme $34^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{1}})$

Étape 6.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})$

Étape 6.5

Multipliez $13$ par $34$ .

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})$

Étape 6.6

Évaluez $\arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})$ .

$θ = 36.41637851$