Trigonométrie Exemples

$(- 3, - 2)$ , $(6, 3)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot 6 - 2 \cdot 3$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 18 - 2 \cdot 3$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 18 - 6$

Étape 2.2.2

Soustrayez $6$ de $- 18$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 24$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + {(- 2)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 4}$

Étape 3.2.3

Additionnez $9$ et $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{13}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{6^{2} + 3^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{36 + 3^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{36 + 9}$

Étape 4.2.3

Additionnez $36$ et $9$ .

$| b⃗ | = \sqrt{45}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 (5)}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| b⃗ | = 3 \sqrt{5}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{- 24}{\sqrt{13} (3 \sqrt{5})})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $3$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 24$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 8}{\sqrt{13} (3 \sqrt{5})})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $\sqrt{13} (3 \sqrt{5})$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 8}{3 (\sqrt{13} (\sqrt{5}))})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot - 8}{3 (\sqrt{13} (\sqrt{5}))})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{- 8}{\sqrt{13} (\sqrt{5})})$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (\frac{- 8}{\sqrt{13 \cdot 5}})$

Étape 6.2.2

Multipliez $13$ par $5$ .

$θ = \arccos (\frac{- 8}{\sqrt{65}})$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$θ = \arccos (- \frac{8}{\sqrt{65}})$

Étape 6.4

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{65}}$ par $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{8}{\sqrt{65}} \cdot \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}))$

Étape 6.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.5.1

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{65}}$ par $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{8 \sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}})$

Étape 6.5.2

Élevez $\sqrt{65}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{8 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1} \sqrt{65}})$

Étape 6.5.3

Élevez $\sqrt{65}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{8 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1} {\sqrt{65}}^{1}})$

Étape 6.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (- \frac{8 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1 + 1}})$

Étape 6.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{8 \sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{2}})$

Étape 6.5.6

Réécrivez ${\sqrt{65}}^{2}$ comme $65$ .

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Étape 6.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{65}$ comme $65^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{8 \sqrt{65}}{{(65^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{8 \sqrt{65}}{65^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{8 \sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (- \frac{8 \sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (- \frac{8 \sqrt{65}}{65^{1}})$

Étape 6.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (- \frac{8 \sqrt{65}}{65})$

Étape 6.6

Évaluez $\arccos (- \frac{8 \sqrt{65}}{65})$ .

$θ = 172.87498365$