Trigonométrie Exemples

$(3, 1)$ , $(- 2, - 6)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot - 2 + 1 \cdot - 6$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6 + 1 \cdot - 6$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 6 - 6$

Étape 2.2.2

Soustrayez $6$ de $- 6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 12$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 1^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 1^{2}}$

Étape 3.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 1}$

Étape 3.2.3

Additionnez $9$ et $1$ .

$| a⃗ | = \sqrt{10}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 6)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + {(- 6)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 36}$

Étape 4.2.3

Additionnez $4$ et $36$ .

$| b⃗ | = \sqrt{40}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $40$ comme $2^{2} \cdot 10$ .

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (10)}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{10}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{- 12}{\sqrt{10} (2 \sqrt{10})})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $2$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 6}{\sqrt{10} (2 \sqrt{10})})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $\sqrt{10} (2 \sqrt{10})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 6}{2 (\sqrt{10} (\sqrt{10}))})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 6}{2 (\sqrt{10} (\sqrt{10}))})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{\sqrt{10} (\sqrt{10})})$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 6}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}})$

Étape 6.2.2

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 6}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}})$

Étape 6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}})$

Étape 6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 6}{{\sqrt{10}}^{2}})$

Étape 6.3

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 6.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 6}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 6}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 6}{10^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{10^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{10^{1}})$

Étape 6.3.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{- 6}{10})$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $10$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$θ = \arccos (\frac{2 (- 3)}{10})$

Étape 6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 5})$

Étape 6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 5})$

Étape 6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{- 3}{5})$

Étape 6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$θ = \arccos (- \frac{3}{5})$

Étape 6.6

Évaluez $\arccos (- \frac{3}{5})$ .

$θ = 126.86989764$