Trigonométrie Exemples

$(- 3, 0)$ , $(- 3, - 4)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 3 \cdot - 3 + 0 \cdot - 4$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 + 0 \cdot - 4$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $0$ par $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 + 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $9$ et $0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 9$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 0^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Étape 3.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 0}$

Étape 3.2.3

Additionnez $9$ et $0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9}$

Étape 3.2.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2}}$

Étape 3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| a⃗ | = 3$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + {(- 4)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{9 + 16}$

Étape 4.2.3

Additionnez $9$ et $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| b⃗ | = 5$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{9}{3 \cdot 5})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 5})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 5$ .

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 3}{3 (5)})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 5})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{3}{5})$

Étape 6.2

Évaluez $\arccos (\frac{3}{5})$ .

$θ = 53.13010235$