Trigonométrie Exemples

$(2, 7)$ , $(2, 8)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot 2 + 7 \cdot 8$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 + 7 \cdot 8$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $7$ par $8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 4 + 56$

Étape 2.2.2

Additionnez $4$ et $56$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 60$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 7^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 7^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 49}$

Étape 3.2.3

Additionnez $4$ et $49$ .

$| a⃗ | = \sqrt{53}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} + 8^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 8^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 64}$

Étape 4.2.3

Additionnez $4$ et $64$ .

$| b⃗ | = \sqrt{68}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $68$ comme $2^{2} \cdot 17$ .

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $68$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (17)}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 17}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{17}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{60}{\sqrt{53} (2 \sqrt{17})})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $60$ et $2$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $60$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 30}{\sqrt{53} (2 \sqrt{17})})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $\sqrt{53} (2 \sqrt{17})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 30}{2 (\sqrt{53} (\sqrt{17}))})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 30}{2 (\sqrt{53} (\sqrt{17}))})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{30}{\sqrt{53} (\sqrt{17})})$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (\frac{30}{\sqrt{53 \cdot 17}})$

Étape 6.2.2

Multipliez $53$ par $17$ .

$θ = \arccos (\frac{30}{\sqrt{901}})$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{30}{\sqrt{901}}$ par $\frac{\sqrt{901}}{\sqrt{901}}$ .

$θ = \arccos (\frac{30}{\sqrt{901}} \cdot \frac{\sqrt{901}}{\sqrt{901}})$

Étape 6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{30}{\sqrt{901}}$ par $\frac{\sqrt{901}}{\sqrt{901}}$ .

$θ = \arccos (\frac{30 \sqrt{901}}{\sqrt{901} \sqrt{901}})$

Étape 6.4.2

Élevez $\sqrt{901}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{30 \sqrt{901}}{{\sqrt{901}}^{1} \sqrt{901}})$

Étape 6.4.3

Élevez $\sqrt{901}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{30 \sqrt{901}}{{\sqrt{901}}^{1} {\sqrt{901}}^{1}})$

Étape 6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{30 \sqrt{901}}{{\sqrt{901}}^{1 + 1}})$

Étape 6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{30 \sqrt{901}}{{\sqrt{901}}^{2}})$

Étape 6.4.6

Réécrivez ${\sqrt{901}}^{2}$ comme $901$ .

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Étape 6.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{901}$ comme $901^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{30 \sqrt{901}}{{(901^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{30 \sqrt{901}}{901^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{30 \sqrt{901}}{901^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{30 \sqrt{901}}{901^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{30 \sqrt{901}}{901^{1}})$

Étape 6.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{30 \sqrt{901}}{901})$

Étape 6.5

Évaluez $\arccos (\frac{30 \sqrt{901}}{901})$ .

$θ = 1.90915243$