Trigonométrie Exemples

$(- 2, 0)$ ,

$(1, 7)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 1 + 0 \cdot 7$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0 \cdot 7$

Étape 2.2.1.2

Multipliez

$0$ par

$7$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0$

Étape 2.2.2

Additionnez

$- 2$ et

$0$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de

$a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez

$- 2$ à la puissance

$2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2}}$

Étape 3.2.2

L’élévation de

$0$ à toute puissance positive produit

$0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0}$

Étape 3.2.3

Additionnez

$4$ et

$0$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4}$

Étape 3.2.4

Réécrivez

$4$ comme

$2^{2}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2}}$

Étape 3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| a⃗ | = 2$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de

$b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + 7^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 7^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez

$7$ à la puissance

$2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 49}$

Étape 4.2.3

Additionnez

$1$ et

$49$ .

$| b⃗ | = \sqrt{50}$

Étape 4.2.4

Réécrivez

$50$ comme

$5^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.2.4.1

Factorisez

$25$ à partir de

$50$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 (2)}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez

$25$ comme

$5^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{2 (5 \sqrt{2})})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à

$- 2$ et

$2$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez

$2$ à partir de

$- 2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

Étape 6.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{5 \sqrt{2}})$

Étape 6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$θ = \arccos (- \frac{1}{5 \sqrt{2}})$

Étape 6.3

Multipliez

$\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{1}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Étape 6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez

$\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

Étape 6.4.2

Déplacez

$\sqrt{2}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

Étape 6.4.3

Élevez

$\sqrt{2}$ à la puissance

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

Étape 6.4.4

Élevez

$\sqrt{2}$ à la puissance

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

Étape 6.4.5

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Étape 6.4.6

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}})$

Étape 6.4.7

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

$2$ .

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Étape 6.4.7.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.4.7.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.7.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 6.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}})$

Étape 6.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2})$

Étape 6.5

Multipliez

$5$ par

$2$ .

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$

Étape 6.6

Évaluez

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$ .

$θ = 98.13010235$