Trigonométrie Exemples

$(2, \sqrt{3})$ , $(- 4, 2 \sqrt{3})$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 4 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $\sqrt{3} (2 \sqrt{3})$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Étape 2.2.1.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Étape 2.2.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Étape 2.2.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{1}$

Étape 2.2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 6$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 8$ et $6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{1}}$

Étape 3.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3}$

Étape 3.2.3

Additionnez $4$ et $3$ .

$| a⃗ | = \sqrt{7}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.2.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{1}}$

Étape 4.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3}$

Étape 4.2.5

Multipliez $4$ par $3$ .

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 12}$

Étape 4.2.6

Additionnez $16$ et $12$ .

$| b⃗ | = \sqrt{28}$

Étape 4.2.7

Réécrivez $28$ comme $2^{2} \cdot 7$ .

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Étape 4.2.7.1

Factorisez $4$ à partir de $28$ .

$| b⃗ | = \sqrt{4 (7)}$

Étape 4.2.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Étape 4.2.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$| b⃗ | = 2 \sqrt{7}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{7} (2 \sqrt{7})})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{\sqrt{7} (2 \sqrt{7})})$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $\sqrt{7} (2 \sqrt{7})$ .

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{7} (\sqrt{7}))})$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{7} (\sqrt{7}))})$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{7} (\sqrt{7})})$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})$

Étape 6.2.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})$

Étape 6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})$

Étape 6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{2}})$

Étape 6.3

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 6.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{1}})$

Étape 6.3.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7})$

Étape 6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$θ = \arccos (- \frac{1}{7})$

Étape 6.5

Évaluez $\arccos (- \frac{1}{7})$ .

$θ = 98.2132107$