Trigonométrie Exemples

$(1, 81)$ , $(7, 4)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 7 + 81 \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Multipliez $7$ par $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 7 + 81 \cdot 4$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $81$ par $4$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 7 + 324$

Étape 2.2.2

Additionnez $7$ et $324$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 331$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 81^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 81^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $81$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 6561}$

Étape 3.2.3

Additionnez $1$ et $6561$ .

$| a⃗ | = \sqrt{6562}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{7^{2} + 4^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{49 + 4^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{49 + 16}$

Étape 4.2.3

Additionnez $49$ et $16$ .

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{331}{\sqrt{6562} \sqrt{65}})$

Étape 6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (\frac{331}{\sqrt{6562 \cdot 65}})$

Étape 6.1.2

Multipliez $6562$ par $65$ .

$θ = \arccos (\frac{331}{\sqrt{426530}})$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{331}{\sqrt{426530}}$ par $\frac{\sqrt{426530}}{\sqrt{426530}}$ .

$θ = \arccos (\frac{331}{\sqrt{426530}} \cdot \frac{\sqrt{426530}}{\sqrt{426530}})$

Étape 6.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{331}{\sqrt{426530}}$ par $\frac{\sqrt{426530}}{\sqrt{426530}}$ .

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{\sqrt{426530} \sqrt{426530}})$

Étape 6.3.2

Élevez $\sqrt{426530}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{{\sqrt{426530}}^{1} \sqrt{426530}})$

Étape 6.3.3

Élevez $\sqrt{426530}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{{\sqrt{426530}}^{1} {\sqrt{426530}}^{1}})$

Étape 6.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{{\sqrt{426530}}^{1 + 1}})$

Étape 6.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{{\sqrt{426530}}^{2}})$

Étape 6.3.6

Réécrivez ${\sqrt{426530}}^{2}$ comme $426530$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{426530}$ comme $426530^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{{(426530^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{426530^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{426530^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{426530^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{426530^{1}})$

Étape 6.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{426530})$

Étape 6.4

Évaluez $\arccos (\frac{331 \sqrt{426530}}{426530})$ .

$θ = 59.54779933$