Trigonométrie Exemples

$(1, \frac{5}{3})$ , $(1, - 8)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $\frac{5}{3} \cdot - 8$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Associez $\frac{5}{3}$ et $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $5$ par $- 8$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

Étape 2.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

Étape 2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

Étape 2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}$

Étape 2.2.4

Soustrayez $40$ de $3$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}$

Étape 2.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Étape 3.2.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}$

Étape 3.2.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}$

Étape 3.2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}$

Étape 3.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}$

Étape 3.2.7

Additionnez $9$ et $25$ .

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}$

Étape 3.2.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{34}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$

Étape 3.2.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.9.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 3.2.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}$

Étape 4.2.3

Additionnez $1$ et $64$ .

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

Étape 6.2

Associez $\frac{\sqrt{34}}{3}$ et $\sqrt{65}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}})$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}})$

Étape 6.3.2

Multipliez $34$ par $65$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

Étape 6.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))$

Étape 6.5

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{2210}}$ par $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Étape 6.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{37}{3}$ dans le numérateur.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Étape 6.6.2

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

Étape 6.6.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})$

Étape 6.7

Associez $- 37$ et $\frac{1}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (\frac{- 37}{\sqrt{2210}})$

Étape 6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$θ = \arccos (- \frac{37}{\sqrt{2210}})$

Étape 6.9

Multipliez $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ par $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{37}{\sqrt{2210}} \cdot \frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}))$

Étape 6.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.10.1

Multipliez $\frac{37}{\sqrt{2210}}$ par $\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{\sqrt{2210} \sqrt{2210}})$

Étape 6.10.2

Élevez $\sqrt{2210}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} \sqrt{2210}})$

Étape 6.10.3

Élevez $\sqrt{2210}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} {\sqrt{2210}}^{1}})$

Étape 6.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1 + 1}})$

Étape 6.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{2}})$

Étape 6.10.6

Réécrivez ${\sqrt{2210}}^{2}$ comme $2210$ .

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Étape 6.10.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2210}$ comme $2210^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{(2210^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.10.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.10.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.10.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.10.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.10.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})$

Étape 6.10.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

Étape 6.11

Évaluez $\arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$ .

$θ = 141.91122711$