Trigonométrie Exemples

$h (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 1

Utilisez la forme $a \sin (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 40$

$b = \frac{5 π}{4}$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 55$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $40$

Étape 3

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{2 π}{| b |}$ .

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Étape 3.1

Déterminez la période de $40 \sin (\frac{5 π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

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Étape 3.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.1.2

Remplacez $b$ par $\frac{5 π}{4}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{5 π}{4} |}$

Étape 3.1.3

$\frac{5 π}{4}$ est d’environ $3.92699081$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{5 π}{4}}$

Étape 3.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{4}{5 π}$

Étape 3.1.5

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 3.1.5.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{5 π}$

Étape 3.1.5.2

Factorisez $π$ à partir de $5 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 5}$

Étape 3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 5}$

Étape 3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{4}{5})$

Étape 3.1.6

Associez $2$ et $\frac{4}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{5}$

Étape 3.1.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8}{5}$

Étape 3.2

Déterminez la période de $55$ .

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Étape 3.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.2

Remplacez $b$ par $\frac{5 π}{4}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{5 π}{4} |}$

Étape 3.2.3

$\frac{5 π}{4}$ est d’environ $3.92699081$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{5 π}{4}}$

Étape 3.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{4}{5 π}$

Étape 3.2.5

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 3.2.5.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{5 π}$

Étape 3.2.5.2

Factorisez $π$ à partir de $5 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 5}$

Étape 3.2.5.3

Annulez le facteur commun.

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 5}$

Étape 3.2.5.4

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{4}{5})$

Étape 3.2.6

Associez $2$ et $\frac{4}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{5}$

Étape 3.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8}{5}$

Étape 3.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$\frac{8}{5}$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{\frac{π}{2}}{\frac{5 π}{4}}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{5 π}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $π$ à partir de $5 π$ .

Déphasage : $\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{π \cdot 5}$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun.

Déphasage : $\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{π \cdot 5}$

Étape 4.4.3

Réécrivez l’expression.

Déphasage : $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

Déphasage : $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (2)}{5}$

Étape 4.5.2

Annulez le facteur commun.

Déphasage : $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{5}$

Étape 4.5.3

Réécrivez l’expression.

Déphasage : $\frac{2}{5}$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $40$

Période : $\frac{8}{5}$

Déphasage : $\frac{2}{5}$ ( $\frac{2}{5}$ à droite)

Décalage vertical : $55$

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = \frac{8}{5}$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{8}{5}$ dans l’expression.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{5 π (\frac{8}{5})}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.2.1.1.1.1

Associez $\frac{8}{5}$ et $5$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{8 \cdot 5}{5} \cdot π}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.1.1.2

Associez $\frac{8 \cdot 5}{5}$ et $π$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{8 \cdot (5 π)}{5}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.1.2

Multipliez $8$ par $5$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{40 π}{5}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1.1.3.1

Réduisez l’expression $\frac{40 π}{5}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1.1.3.1.1

Factorisez $5$ à partir de $40 π$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{5 (8 π)}{5}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.1.3.1.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{5 (8 π)}{5 (1)}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.1.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{5 (8 π)}{5 \cdot 1}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.1.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{8 π}{1}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.1.3.2

Divisez $8 π$ par $1$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{8 π}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 6.1.2.1.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8 π$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{4 (2 π)}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1.1.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 (1)} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{2 π}{1} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.1.4.2.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (2 π - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.3

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{4 π - π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.5.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{3 π}{2}) + 55$

Étape 6.1.2.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$f (\frac{8}{5}) = 40 (- \sin (\frac{π}{2})) + 55$

Étape 6.1.2.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 (- 1 \cdot 1) + 55$

Étape 6.1.2.1.8

Multipliez $40 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.1.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{8}{5}) = 40 \cdot - 1 + 55$

Étape 6.1.2.1.8.2

Multipliez $40$ par $- 1$ .

$f (\frac{8}{5}) = - 40 + 55$

Étape 6.1.2.2

Additionnez $- 40$ et $55$ .

$f (\frac{8}{5}) = 15$

Étape 6.1.2.3

La réponse finale est $15$ .

$15$

Étape 6.2

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{8}{5} & 15 \\ \frac{16}{5} & 15 \\ \frac{24}{5} & 15 \\ \frac{32}{5} & 15 \\ 8 & 15 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $40$

Période : $\frac{8}{5}$

Déphasage : $\frac{2}{5}$ ( $\frac{2}{5}$ à droite)

Décalage vertical : $55$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{8}{5} & 15 \\ \frac{16}{5} & 15 \\ \frac{24}{5} & 15 \\ \frac{32}{5} & 15 \\ 8 & 15 \end{array}$

Étape 8