Trigonométrie Exemples

$h (x) = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Pour tout $y = \cot (x)$ , des asymptotes verticales se trouvent sur $x = n π$ , où $n$ est un entier. Utilisez la période de base pour $y = \cot (x)$ , $(0, π)$ , afin de déterminer les asymptotes verticales pour $y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ . Définissez l’intérieur de la fonction cotangente, $b x + c$ , pour $y = a \cot (b x + c) + d$ égal à $0$ afin de déterminer où l’asymptote verticale se produit pour $y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{2} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3 \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.3

Définissez l’intérieur de la fonction cotangente $\frac{x}{3} - \frac{π}{2}$ égal à $π$ .

$\frac{x}{3} - \frac{π}{2} = π$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.4.1.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{x}{3} = π + \frac{π}{2}$

Étape 1.4.1.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{3} = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 1.4.1.3

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 1.4.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 1.4.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.1.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Étape 1.4.1.5.2

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$\frac{x}{3} = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3 \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.3.2.1

Multipliez $3 \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 1.4.3.2.1.1

Associez $3$ et $\frac{3 π}{2}$ .

$x = \frac{3 (3 π)}{2}$

Étape 1.4.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{9 π}{2}$

Étape 1.5

La période de base pour $y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ se produit sur $(\frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2})$ , où $\frac{3 π}{2}$ et $\frac{9 π}{2}$ sont des asymptotes verticales.

$(\frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2})$

Étape 1.6

Déterminez la période $\frac{π}{| b |}$ pour déterminer où les asymptotes verticales existent.

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Étape 1.6.1

$\frac{1}{3}$ est d’environ $0.\overline{3}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Étape 1.6.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \cdot 3$

Étape 1.6.3

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$3 π$

Étape 1.7

Les asymptotes verticales pour $y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ se produisent sur $\frac{3 π}{2}$ , $\frac{9 π}{2}$ et chaque $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ , où $n$ est un entier.

$x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$

Étape 1.8

La cotangente n’a que des asymptotes verticales.

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ où $n$ est un entier

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ où $n$ est un entier

Étape 2

Réécrivez l’expression comme $- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2}) + 8$ .

$- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2}) + 8$

Étape 3

Utilisez la forme $a \cot (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = - 1$

$b = \frac{1}{3}$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 8$

Étape 4

Comme le graphe de la fonction $c o t$ n’a pas de valeur maximale ni minimale, il ne peut y avoir aucune valeur pour l’amplitude.

Amplitude : Aucune

Étape 5

Déterminez la période en utilisant la formule $\frac{π}{| b |}$ .

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Étape 5.1

Déterminez la période de $- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ .

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Étape 5.1.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.1.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| \frac{1}{3} |}$

Étape 5.1.3

$\frac{1}{3}$ est d’environ $0.\overline{3}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Étape 5.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \cdot 3$

Étape 5.1.5

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$3 π$

Étape 5.2

Déterminez la période de $8$ .

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Étape 5.2.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.2

Remplacez $b$ par $\frac{1}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| \frac{1}{3} |}$

Étape 5.2.3

$\frac{1}{3}$ est d’environ $0.\overline{3}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

Étape 5.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \cdot 3$

Étape 5.2.5

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$3 π$

Étape 5.3

La période d’addition/soustraction des fonctions trigonométriques est le maximum des différentes périodes.

$3 π$

Étape 6

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 6.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{\frac{π}{2}}{\frac{1}{3}}$

Étape 6.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $\frac{π}{2} \cdot 3$

Étape 6.4

Associez $\frac{π}{2}$ et $3$ .

Déphasage : $\frac{π \cdot 3}{2}$

Étape 6.5

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

Déphasage : $\frac{3 π}{2}$

Étape 7

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : Aucune

Période : $3 π$

Déphasage : $\frac{3 π}{2}$ ( $\frac{3 π}{2}$ à droite)

Décalage vertical : $8$

Étape 8

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Asymptotes verticales : $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ où $n$ est un entier

Amplitude : Aucune

Période : $3 π$

Déphasage : $\frac{3 π}{2}$ ( $\frac{3 π}{2}$ à droite)

Décalage vertical : $8$

Étape 9