Trigonométrie Exemples

$H (x) = - x^{2} + 10 x - 19$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $- x^{2} + 10 x - 19$ .

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Étape 1.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 10$

$c = - 19$

Étape 1.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Étape 1.1.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$d = - 5$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 19 - \frac{10^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$e = - 19 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = - 19 - \frac{100}{- 4}$

Étape 1.1.1.4.2.1.3

Divisez $100$ par $- 4$ .

$e = - 19 - - 25$

Étape 1.1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 25$ .

$e = - 19 + 25$

Étape 1.1.1.4.2.2

Additionnez $- 19$ et $25$ .

$e = 6$

Étape 1.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(x - 5)}^{2} + 6$ .

$- {(x - 5)}^{2} + 6$

Étape 1.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - {(x - 5)}^{2} + 6$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 1$

$h = 5$

$k = 6$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(5, 6)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 1.5.3.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(5, \frac{23}{4})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 5$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{25}{4}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(5, 6)$

Foyer : $(5, \frac{23}{4})$

Axe de symétrie : $x = 5$

Directrice : $y = \frac{25}{4}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(5, 6)$

Foyer : $(5, \frac{23}{4})$

Axe de symétrie : $x = 5$

Directrice : $y = \frac{25}{4}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = - {(4)}^{2} + 10 (4) - 19$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 10 (4) - 19$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f (4) = - 16 + 10 (4) - 19$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $10$ par $4$ .

$f (4) = - 16 + 40 - 19$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $- 16$ et $40$ .

$f (4) = 24 - 19$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $19$ de $24$ .

$f (4) = 5$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $5$ .

$5$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = 4$ est $5$ .

$y = 5$

Étape 2.4

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = - {(3)}^{2} + 10 (3) - 19$

Étape 2.5

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 10 (3) - 19$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f (3) = - 9 + 10 (3) - 19$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $10$ par $3$ .

$f (3) = - 9 + 30 - 19$

Étape 2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.5.2.1

Additionnez $- 9$ et $30$ .

$f (3) = 21 - 19$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $19$ de $21$ .

$f (3) = 2$

Étape 2.5.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 2.6

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $2$ .

$y = 2$

Étape 2.7

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = - {(6)}^{2} + 10 (6) - 19$

Étape 2.8

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (6) = - 1 \cdot 36 + 10 (6) - 19$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$f (6) = - 36 + 10 (6) - 19$

Étape 2.8.1.3

Multipliez $10$ par $6$ .

$f (6) = - 36 + 60 - 19$

Étape 2.8.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.8.2.1

Additionnez $- 36$ et $60$ .

$f (6) = 24 - 19$

Étape 2.8.2.2

Soustrayez $19$ de $24$ .

$f (6) = 5$

Étape 2.8.3

La réponse finale est $5$ .

$5$

Étape 2.9

La valeur $y$ sur $x = 6$ est $5$ .

$y = 5$

Étape 2.10

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f (7) = - {(7)}^{2} + 10 (7) - 19$

Étape 2.11

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (7) = - 1 \cdot 49 + 10 (7) - 19$

Étape 2.11.1.2

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$f (7) = - 49 + 10 (7) - 19$

Étape 2.11.1.3

Multipliez $10$ par $7$ .

$f (7) = - 49 + 70 - 19$

Étape 2.11.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.11.2.1

Additionnez $- 49$ et $70$ .

$f (7) = 21 - 19$

Étape 2.11.2.2

Soustrayez $19$ de $21$ .

$f (7) = 2$

Étape 2.11.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 2.12

La valeur $y$ sur $x = 7$ est $2$ .

$y = 2$

Étape 2.13

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & 2 \\ 4 & 5 \\ 5 & 6 \\ 6 & 5 \\ 7 & 2 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(5, 6)$

Foyer : $(5, \frac{23}{4})$

Axe de symétrie : $x = 5$

Directrice : $y = \frac{25}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & 2 \\ 4 & 5 \\ 5 & 6 \\ 6 & 5 \\ 7 & 2 \end{array}$

Étape 4