Trigonométrie Exemples

$h (x) = 2 \sec (x - \frac{π}{3})$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Pour tout $y = \sec (x)$ , des asymptotes verticales se trouvent sur $x = \frac{π}{2} + n π$ , où $n$ est un entier. Utilisez la période de base pour $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , afin de déterminer les asymptotes verticales pour $y = 2 \sec (x - \frac{π}{3})$ . Définissez l’intérieur de la fonction sécante, $b x + c$ , pour $y = a \sec (b x + c) + d$ égal à $- \frac{π}{2}$ afin de déterminer où l’asymptote verticale se situe pour $y = 2 \sec (x - \frac{π}{3})$ .

$x - \frac{π}{3} = - \frac{π}{2}$

Étape 1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.1

Ajoutez $\frac{π}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - \frac{π}{2} + \frac{π}{3}$

Étape 1.2.2

Pour écrire $- \frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 1.2.3

Pour écrire $\frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.4.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = - \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$x = - \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 1.2.4.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = - \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π \cdot 2}{6}$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- π \cdot 3 + π \cdot 2}{6}$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 3 π + π \cdot 2}{6}$

Étape 1.2.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{- 3 π + 2 \cdot π}{6}$

Étape 1.2.6.3

Additionnez $- 3 π$ et $2 π$ .

$x = \frac{- π}{6}$

Étape 1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 1.3

Définissez l’intérieur de la fonction sécante $x - \frac{π}{3}$ égal à $\frac{3 π}{2}$ .

$x - \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.4.1

Ajoutez $\frac{π}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{3}$

Étape 1.4.2

Pour écrire $\frac{3 π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 1.4.3

Pour écrire $\frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.4.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.4.4.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.4.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.4.4.3

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 1.4.4.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π \cdot 2}{6}$

Étape 1.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 π \cdot 3 + π \cdot 2}{6}$

Étape 1.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.6.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{9 π + π \cdot 2}{6}$

Étape 1.4.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{9 π + 2 \cdot π}{6}$

Étape 1.4.6.3

Additionnez $9 π$ et $2 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Étape 1.5

La période de base pour $y = 2 \sec (x - \frac{π}{3})$ se produit sur $(- \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6})$ , où $- \frac{π}{6}$ et $\frac{11 π}{6}$ sont des asymptotes verticales.

$(- \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6})$

Étape 1.6

Déterminez la période $\frac{2 π}{| b |}$ pour déterminer où les asymptotes verticales existent. Des asymptotes verticales apparaissent chaque demi-période.

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Étape 1.6.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.6.2

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.7

Les asymptotes verticales pour $y = 2 \sec (x - \frac{π}{3})$ se produisent sur $- \frac{π}{6}$ , $\frac{11 π}{6}$ et chaque $x = - \frac{π}{6} + π n$ , où $n$ est un entier. C’est la moitié de la période.

$x = - \frac{π}{6} + π n$

Étape 1.8

La sécante n’a que des asymptotes verticales.

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = - \frac{π}{6} + π n$ où $n$ est un entier

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = - \frac{π}{6} + π n$ où $n$ est un entier

Étape 2

Utilisez la forme $a \sec (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 2$

$b = 1$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 0$

Étape 3

Comme le graphe de la fonction $s e c$ n’a pas de valeur maximale ni minimale, il ne peut y avoir aucune valeur pour l’amplitude.

Amplitude : Aucune

Étape 4

Déterminez la période de $2 \sec (x - \frac{π}{3})$ .

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Étape 4.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 5.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{\frac{π}{3}}{1}$

Étape 5.3

Divisez $\frac{π}{3}$ par $1$ .

Déphasage : $\frac{π}{3}$

Étape 6

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : Aucune

Période : $2 π$

Déphasage : $\frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ à droite)

Décalage vertical : Aucune

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{π}{6} + π n$ où $n$ est un entier

Amplitude : Aucune

Période : $2 π$

Déphasage : $\frac{π}{3}$ ( $\frac{π}{3}$ à droite)

Décalage vertical : Aucune

Étape 8