Trigonométrie Exemples

$h = - 16 t^{2} + 112 t$

Étape 1

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1.1

Complétez le carré pour $- 16 x^{2} + 112 x$ .

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Étape 1.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 16$

$b = 112$

$c = 0$

Étape 1.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{112}{2 \cdot - 16}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $112$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $112$ .

$d = \frac{2 \cdot 56}{2 \cdot - 16}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 56}{2 (- 16)}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 56}{2 \cdot - 16}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{56}{- 16}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun à $56$ et $- 16$ .

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Étape 1.1.1.3.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $56$ .

$d = \frac{8 (7)}{- 16}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.3.2.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $- 16$ .

$d = \frac{8 \cdot 7}{8 \cdot - 2}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{8 \cdot 7}{8 \cdot - 2}$

Étape 1.1.1.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{7}{- 2}$

Étape 1.1.1.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{7}{2}$

Étape 1.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{112^{2}}{4 \cdot - 16}$

Étape 1.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.2.1.1

Élevez $112$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{12544}{4 \cdot - 16}$

Étape 1.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 16$ .

$e = 0 - \frac{12544}{- 64}$

Étape 1.1.1.4.2.1.3

Divisez $12544$ par $- 64$ .

$e = 0 - - 196$

Étape 1.1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 196$ .

$e = 0 + 196$

Étape 1.1.1.4.2.2

Additionnez $0$ et $196$ .

$e = 196$

Étape 1.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 16 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 196$ .

$- 16 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 196$

Étape 1.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - 16 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 196$

Étape 1.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 16$

$h = \frac{7}{2}$

$k = 196$

Étape 1.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 1.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(\frac{7}{2}, 196)$

Étape 1.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 1.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 1.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 16}$

Étape 1.5.3

Simplifiez

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Étape 1.5.3.1

Multipliez $4$ par $- 16$ .

$\frac{1}{- 64}$

Étape 1.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{64}$

Étape 1.6

Déterminez le foyer.

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Étape 1.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 1.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{7}{2}, \frac{12543}{64})$

Étape 1.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = \frac{7}{2}$

Étape 1.8

Déterminez la directrice.

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Étape 1.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 1.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{12545}{64}$

Étape 1.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(\frac{7}{2}, 196)$

Foyer : $(\frac{7}{2}, \frac{12543}{64})$

Axe de symétrie : $x = \frac{7}{2}$

Directrice : $y = \frac{12545}{64}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(\frac{7}{2}, 196)$

Foyer : $(\frac{7}{2}, \frac{12543}{64})$

Axe de symétrie : $x = \frac{7}{2}$

Directrice : $y = \frac{12545}{64}$

Étape 2

Sélectionnez quelques valeurs $x$ et insérez-les dans l’équation pour déterminer les valeurs $y$ correspondantes. Les valeurs $x$ devraient être sélectionnées autour du sommet.

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = - 16 {(3)}^{2} + 112 (3)$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = - 16 \cdot 9 + 112 (3)$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 16$ par $9$ .

$f (3) = - 144 + 112 (3)$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $112$ par $3$ .

$f (3) = - 144 + 336$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 144$ et $336$ .

$f (3) = 192$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $192$ .

$192$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $192$ .

$y = 192$

Étape 2.4

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & 192 \\ \frac{7}{2} & 196 \end{array}$

Étape 3

Représentez la parabole en utilisant ses propriétés et les points sélectionnés.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(\frac{7}{2}, 196)$

Foyer : $(\frac{7}{2}, \frac{12543}{64})$

Axe de symétrie : $x = \frac{7}{2}$

Directrice : $y = \frac{12545}{64}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & 192 \\ \frac{7}{2} & 196 \end{array}$

Étape 4