Trigonométrie Exemples

$f (x) = 6 | \cot (\frac{π}{12} x) |$

Étape 1

Déterminez le sommet de la valeur absolue. Dans ce cas, le sommet de $y = 6 | \cot (\frac{π x}{12}) |$ est $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

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Étape 1.1

Pour déterminer la coordonnée $x$ du sommet, définissez l’intérieur de la valeur absolue $\cot (\frac{π x}{12})$ égal à $0$ . Dans ce cas, $\cot (\frac{π x}{12}) = 0$ .

$\cot (\frac{π x}{12}) = 0$

Étape 1.2

Résolvez l’équation $\cot (\frac{π x}{12}) = 0$ pour déterminer la coordonnée $x$ pour le sommet de la valeur absolue.

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Étape 1.2.1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$\frac{π x}{12} = arccot (0)$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.1

La valeur exacte de $arccot (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 1.2.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.1.1

Simplifiez $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

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Étape 1.2.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.2.4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 1.2.4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 1.2.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.2.4.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 1.2.4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 1.2.4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez $\frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 1.2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π}{2}$

Étape 1.2.4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{6}{π} π$

Étape 1.2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.2.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{6}{π} π$

Étape 1.2.4.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = 6$

Étape 1.2.5

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{π x}{12} = π + \frac{π}{2}$

Étape 1.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Étape 1.2.6.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.1.1

Simplifiez $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Étape 1.2.6.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Étape 1.2.6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Étape 1.2.6.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Étape 1.2.6.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

Étape 1.2.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.2.2.1

Simplifiez $\frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$ .

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Étape 1.2.6.2.2.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{12}{π} (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 1.2.6.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.6.2.2.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{12}{π} (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Étape 1.2.6.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 1.2.6.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.2.2.1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 1.2.6.2.2.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 1.2.6.2.2.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 2 + π)$

Étape 1.2.6.2.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6}{π} (2 π + π)$

Étape 1.2.6.2.2.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.6.2.2.1.4.1

Additionnez $2 π$ et $π$ .

$x = \frac{6}{π} (3 π)$

Étape 1.2.6.2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.2.6.2.2.1.4.2.1

Factorisez $π$ à partir de $3 π$ .

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 3)$

Étape 1.2.6.2.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 3)$

Étape 1.2.6.2.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = 6 \cdot 3$

Étape 1.2.6.2.2.1.4.3

Multipliez $6$ par $3$ .

$x = 18$

Étape 1.2.7

Déterminez la période de $\cot (\frac{π x}{12})$ .

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Étape 1.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 1.2.7.2

Remplacez $b$ par $\frac{π}{12}$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| \frac{π}{12} |}$

Étape 1.2.7.3

$\frac{π}{12}$ est d’environ $0.26179938$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{π}{\frac{π}{12}}$

Étape 1.2.7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$π \frac{12}{π}$

Étape 1.2.7.5

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.2.7.5.1

Annulez le facteur commun.

$π \frac{12}{π}$

Étape 1.2.7.5.2

Réécrivez l’expression.

$12$

Étape 1.2.8

La période de la fonction $\cot (\frac{π x}{12})$ est $12$ si bien que les valeurs se répètent tous les $12$ radians dans les deux sens.

$x = 6 + 12 n, 18 + 12 n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.9

Consolidez les réponses.

$x = 6 + 12 n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Remplacez la variable $x$ par $6 + 12 n$ dans l’expression.

$y = 6 | \cot (\frac{π (6 + 12 n)}{12}) |$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $6 + 12 n$ et $12$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $6$ à partir de $π (6 + 12 n)$ .

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{12}) |$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $6$ à partir de $12$ .

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{6 (2)}) |$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{6 \cdot 2}) |$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

Étape 1.5

Le sommet de la valeur absolue est $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

$(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

Étape 2

Déterminez le domaine pour $f (x) = 6 | \cot (\frac{π x}{12}) |$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique de la fonction de valeur absolue.

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Étape 2.1

Définissez l’argument dans $\cot (\frac{π x}{12})$ égal à $π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\frac{π x}{12} = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{12}{π}$ .

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π n)$

Étape 2.2.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1.1

Simplifiez $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π n)$

Étape 2.2.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π n)$

Étape 2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.2.2.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (π n)$

Étape 2.2.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π n)$

Étape 2.2.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{12}{π} (π n)$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.2.2.2.1.1

Factorisez $π$ à partir de $π n$ .

$x = \frac{12}{π} (π (n))$

Étape 2.2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{12}{π} (π n)$

Étape 2.2.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$x = 12 n$

Étape 2.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 12 n}$ , pour tout entier $n$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 12 n}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

La valeur absolue peut être représentée avec les points autour du sommet $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 + 12 n & 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

Étape 4