Trigonométrie Exemples

$f (x) = - 6 (\frac{1}{4} x - p) - 3$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $6 (\frac{1}{4} x - p)$ aux deux côtés de l’équation.

$y + 6 (\frac{1}{4} x - p) = - 3$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$y + 6 (\frac{x}{4} - p) = - 3$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y + 6 \frac{x}{4} + 6 (- p) = - 3$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y + 2 (3) \frac{x}{4} + 6 (- p) = - 3$

Étape 1.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y + 2 \cdot 3 \frac{x}{2 \cdot 2} + 6 (- p) = - 3$

Étape 1.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$y + 2 \cdot 3 \frac{x}{2 \cdot 2} + 6 (- p) = - 3$

Étape 1.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$y + 3 \frac{x}{2} + 6 (- p) = - 3$

Étape 1.2.4

Associez $3$ et $\frac{x}{2}$ .

$y + \frac{3 x}{2} + 6 (- p) = - 3$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$y + \frac{3 x}{2} - 6 p = - 3$

Étape 1.3

Déplacez $y$ .

$\frac{3 x}{2} - 6 p + y = - 3$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $\frac{3 x}{2}$ et $- 6 p$ .

$- 6 p + \frac{3 x}{2} + y = - 3$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = \sqrt{2}$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2^{1} + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{2 + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{2 + 1}$

Étape 5.3.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\sqrt{3}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\sqrt{2}, 0)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \sqrt{2}, 0)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\sqrt{3}, 0)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \sqrt{3}, 0)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

Étape 8

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 8.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.3.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 8.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 8.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 8.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 9

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x + 0$

Étape 10

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} x + 0$ .

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Étape 10.1

Additionnez $\frac{\sqrt{2}}{2} x$ et $0$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} x$

Étape 10.2

Associez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{\sqrt{2} x}{2}$

Étape 11

Simplifiez $- \frac{\sqrt{2}}{2} x + 0$ .

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Étape 11.1

Additionnez $- \frac{\sqrt{2}}{2} x$ et $0$ .

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x$

Étape 11.2

Associez $x$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{2}}{2}$

Étape 12

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{\sqrt{2} x}{2}, y = - \frac{x \sqrt{2}}{2}$

Étape 13

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(0, 0)$

Sommets : $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Foyers : $(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

Excentricité : $(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

Paramètre focal : $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Asymptotes : $y = \frac{\sqrt{2} x}{2}$ , $y = - \frac{x \sqrt{2}}{2}$

Étape 14