Trigonométrie Exemples

$f (x) = \cos (3 π x - π)$

Étape 1

Utilisez la forme $a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = 1$

$b = 3 π$

$c = π$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $1$

Étape 3

Déterminez la période de $\cos (3 π x - π)$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $3 π$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 3 π |}$

Étape 3.3

$3 π$ est d’environ $9.42477796$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{3 π}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{3 π}$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3}$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{π}{3 π}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

Déphasage : $\frac{π}{3 π}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

Déphasage : $\frac{1}{3}$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $1$

Période : $\frac{2}{3}$

Déphasage : $\frac{1}{3}$ ( $\frac{1}{3}$ à droite)

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = \frac{1}{3}$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = \cos (3 π (\frac{1}{3}) - π)$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$f (\frac{1}{3}) = \cos (3 (π) (\frac{1}{3}) - π)$

Étape 6.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{1}{3}) = \cos (3 π (\frac{1}{3}) - π)$

Étape 6.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{1}{3}) = \cos (π - π)$

Étape 6.1.2.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f (\frac{1}{3}) = \cos (0)$

Étape 6.1.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = 1$

Étape 6.1.2.4

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{1}{2}) = \cos (3 π (\frac{1}{2}) - π)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $3 π (\frac{1}{2})$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{3}{2} \cdot π - π)$

Étape 6.2.2.1.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $π$ .

$f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{3 π}{2} - π)$

Étape 6.2.2.2

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

Étape 6.2.2.3

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.3.1

Associez $- π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

Étape 6.2.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{3 π - π \cdot 2}{2})$

Étape 6.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{3 π - 2 π}{2})$

Étape 6.2.2.4.2

Soustrayez $2 π$ de $3 π$ .

$f (\frac{1}{2}) = \cos (\frac{π}{2})$

Étape 6.2.2.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{1}{2}) = 0$

Étape 6.2.2.6

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{2}{3}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2}{3}) = \cos (3 π (\frac{2}{3}) - π)$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$f (\frac{2}{3}) = \cos (3 (π) (\frac{2}{3}) - π)$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{3}) = \cos (3 π (\frac{2}{3}) - π)$

Étape 6.3.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{3}) = \cos (π \cdot 2 - π)$

Étape 6.3.2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{2}{3}) = \cos (2 π - π)$

Étape 6.3.2.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$f (\frac{2}{3}) = \cos (π)$

Étape 6.3.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (\frac{2}{3}) = - \cos (0)$

Étape 6.3.2.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 1 \cdot 1$

Étape 6.3.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 1$

Étape 6.3.2.6

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{5}{6}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{5}{6}) = \cos (3 π (\frac{5}{6}) - π)$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 π$ .

$f (\frac{5}{6}) = \cos (3 (π) (\frac{5}{6}) - π)$

Étape 6.4.2.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (\frac{5}{6}) = \cos (3 (π) (\frac{5}{3 (2)}) - π)$

Étape 6.4.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{6}) = \cos (3 π (\frac{5}{3 \cdot 2}) - π)$

Étape 6.4.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{6}) = \cos (π (\frac{5}{2}) - π)$

Étape 6.4.2.1.2

Associez $π$ et $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \cos (\frac{π \cdot 5}{2} - π)$

Étape 6.4.2.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $π$ .

$f (\frac{5}{6}) = \cos (\frac{5 π}{2} - π)$

Étape 6.4.2.2

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \cos (\frac{5 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2})$

Étape 6.4.2.3

Associez les fractions.

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Étape 6.4.2.3.1

Associez $- π$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{6}) = \cos (\frac{5 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2})$

Étape 6.4.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5}{6}) = \cos (\frac{5 π - π \cdot 2}{2})$

Étape 6.4.2.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{5}{6}) = \cos (\frac{5 π - 2 π}{2})$

Étape 6.4.2.4.2

Soustrayez $2 π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5}{6}) = \cos (\frac{3 π}{2})$

Étape 6.4.2.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (\frac{5}{6}) = \cos (\frac{π}{2})$

Étape 6.4.2.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$f (\frac{5}{6}) = 0$

Étape 6.4.2.7

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \cos (3 π (1) - π)$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = \cos (3 π - π)$

Étape 6.5.2.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$f (1) = \cos (2 π)$

Étape 6.5.2.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (1) = \cos (0)$

Étape 6.5.2.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (1) = 1$

Étape 6.5.2.5

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{1}{3} & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{2}{3} & - 1 \\ \frac{5}{6} & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $1$

Période : $\frac{2}{3}$

Déphasage : $\frac{1}{3}$ ( $\frac{1}{3}$ à droite)

Décalage vertical : Aucune

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{1}{3} & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{2}{3} & - 1 \\ \frac{5}{6} & 0 \\ 1 & 1 \end{array}$

Étape 8