Trigonométrie Exemples

$f (x) = \ln (\arcsin (\frac{x + 2}{5 - x}))$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez l’argument du logarithme égal à zéro.

$\arcsin (\frac{x + 2}{5 - x}) = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$\frac{x + 2}{5 - x} = \sin (0)$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Divisez la fraction $\frac{x + 2}{5 - x}$ en deux fractions.

$\frac{x}{5 - x} + \frac{2}{5 - x} = \sin (0)$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{x}{5 - x} + \frac{2}{5 - x} = 0$

Étape 1.2.4

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$5 - x, 5 - x, 1$

Étape 1.2.4.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.2.4.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.2.4.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 1.2.4.5

Le facteur pour $5 - x$ est $5 - x$ lui-même.

$(5 - x) = 5 - x$

$(5 - x)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.2.4.6

Le plus petit multiple commun de $5 - x, 5 - x$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$5 - x$

Étape 1.2.5

Multiplier chaque terme dans $\frac{x}{5 - x} + \frac{2}{5 - x} = 0$ par $5 - x$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x}{5 - x} + \frac{2}{5 - x} = 0$ par $5 - x$ .

$\frac{x}{5 - x} (5 - x) + \frac{2}{5 - x} (5 - x) = 0 (5 - x)$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $5 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{5 - x} (5 - x) + \frac{2}{5 - x} (5 - x) = 0 (5 - x)$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x + \frac{2}{5 - x} (5 - x) = 0 (5 - x)$

Étape 1.2.5.2.1.2

Annulez le facteur commun de $5 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x + \frac{2}{5 - x} (5 - x) = 0 (5 - x)$

Étape 1.2.5.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x + 2 = 0 (5 - x)$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.3.1

Multipliez $0$ par $5 - x$ .

$x + 2 = 0$

Étape 1.2.6

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 1.3

L’asymptote verticale se produit sur $x = - 2$ .

Asymptote verticale : $x = - 2$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \ln (\arcsin (\frac{(- 1) + 2}{5 - (- 1)}))$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$f (- 1) = \ln (\arcsin (\frac{1}{5 - (- 1)}))$

Étape 2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 1) = \ln (\arcsin (\frac{1}{5 + 1}))$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $5$ et $1$ .

$f (- 1) = \ln (\arcsin (\frac{1}{6}))$

Étape 2.2.3

Évaluez $\arcsin (\frac{1}{6})$ .

$f (- 1) = \ln (0.16744807)$

Étape 2.2.4

La réponse finale est $\ln (0.16744807)$ .

$\ln (0.16744807)$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \ln (\arcsin (\frac{(0) + 2}{5 - (0)}))$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (0) = \ln (\arcsin (\frac{2}{5 - (0)}))$

Étape 3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = \ln (\arcsin (\frac{2}{5 + 0}))$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$f (0) = \ln (\arcsin (\frac{2}{5}))$

Étape 3.2.3

Évaluez $\arcsin (\frac{2}{5})$ .

$f (0) = \ln (0.41151684)$

Étape 3.2.4

La réponse finale est $\ln (0.41151684)$ .

$\ln (0.41151684)$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \ln (\arcsin (\frac{(1) + 2}{5 - (1)}))$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (1) = \ln (\arcsin (\frac{3}{5 - (1)}))$

Étape 4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = \ln (\arcsin (\frac{3}{5 - 1}))$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $1$ de $5$ .

$f (1) = \ln (\arcsin (\frac{3}{4}))$

Étape 4.2.3

Évaluez $\arcsin (\frac{3}{4})$ .

$f (1) = \ln (0.84806207)$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $\ln (0.84806207)$ .

$\ln (0.84806207)$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = - 2$ et les points $(- 1, - 1.78708195), (0, - 0.88790532), (1, - 0.16480143)$ .

Asymptote verticale : $x = - 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1.787 \\ 0 & - 0.888 \\ 1 & - 0.165 \end{array}$

Étape 6