Trigonométrie Exemples

$g (x) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} (x - 3) + 2$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\log_{2} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + 2$ est indéfinie.

$x \leq 3$

Étape 1.2

Comme $\log_{2} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + 2$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $3$ depuis la gauche et $\log_{2} ({(x - 3)}^{\frac{1}{2}}) + 2$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $3$ depuis la droite, $x = 3$ est une asymptote verticale.

$x = 3$

Étape 1.3

Ignorez le logarithme et étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 1.4

Il n’y a pas d’asymptote horizontale car $Q (x)$ est $1$ .

Aucune asymptote horizontale

Étape 1.5

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 3$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes verticales : $x = 3$

Aucune asymptote horizontale

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 4$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} ((4) - 3) + 2$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Soustrayez $3$ de $4$ .

$f (4) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} (1) + 2$

Étape 2.2.1.2

La base logarithmique $2$ de $1$ est $0$ .

$f (4) = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$f (4) = 0 + 2$

Étape 2.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (4) = 2$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $2$ .

$2$

Étape 2.3

Convertissez $2$ en décimale.

$y = 2$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 7$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f (7) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} ((7) - 3) + 2$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Soustrayez $3$ de $7$ .

$f (7) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} (4) + 2$

Étape 3.2.1.2

La base logarithmique $2$ de $4$ est $2$ .

$f (7) = \frac{1}{2} \cdot 2 + 2$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (7) = \frac{1}{2} \cdot 2 + 2$

Étape 3.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (7) = 1 + 2$

Étape 3.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (7) = 3$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 3.3

Convertissez $3$ en décimale.

$y = 3$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 5$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} ((5) - 3) + 2$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Soustrayez $3$ de $5$ .

$f (5) = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} (2) + 2$

Étape 4.2.1.2

La base logarithmique $2$ de $2$ est $1$ .

$f (5) = \frac{1}{2} \cdot 1 + 2$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$f (5) = \frac{1}{2} + 2$

Étape 4.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (5) = \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.2.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (5) = \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (5) = \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (5) = \frac{1 + 4}{2}$

Étape 4.2.5.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$f (5) = \frac{5}{2}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Étape 4.3

Convertissez $\frac{5}{2}$ en décimale.

$y = 2.5$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 3$ et les points $(4, 2), (7, 3), (5, 2.5)$ .

Asymptote verticale : $x = 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 2 \\ 5 & 2.5 \\ 7 & 3 \end{array}$

Étape 6