Trigonométrie Exemples

$g (x) = \frac{1}{2^{x - 3}} + 1$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{1}{2^{x - 3}} + 1$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2^{x - 3}}{2^{x - 3}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + 2^{x - 3}}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

Étape 3.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

Étape 3.1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

Étape 3.1.1.2.2

Comme l’exposant $x - 3$ approche de $\infty$ , la quantité $2^{x - 3}$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

Étape 3.1.1.2.3

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

Étape 3.1.1.3

Comme l’exposant $x - 3$ approche de $\infty$ , la quantité $2^{x - 3}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.1.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2^{x - 3}}{2^{x - 3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Étape 3.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Étape 3.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2^{x - 3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2^{x - 3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Étape 3.1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Étape 3.1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]$ .

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Étape 3.1.3.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 2^{x}$ et $g (x) = x - 3$ .

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Étape 3.1.3.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Étape 3.1.3.4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Étape 3.1.3.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Étape 3.1.3.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Étape 3.1.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Étape 3.1.3.4.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Étape 3.1.3.4.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Étape 3.1.3.4.6

Multipliez $2^{x - 3}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Étape 3.1.3.5

Additionnez $0$ et $2^{x - 3} \ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

Étape 3.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 2^{x}$ et $g (x) = x - 3$ .

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Étape 3.1.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.1.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.1.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}$

Étape 3.1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Étape 3.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Étape 3.1.3.9

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) (1 + 0)}$

Étape 3.1.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) \cdot 1}$

Étape 3.1.3.11

Multipliez $2^{x - 3}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2)}$

Étape 3.1.4

Réduisez.

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Étape 3.1.4.1

Annulez le facteur commun de $2^{x - 3}$ .

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Étape 3.1.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2)}$

Étape 3.1.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Étape 3.1.4.2

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 3.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

Étape 3.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} 1$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$1$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 1$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 1$

Aucune asymptote oblique

Étape 7