Trigonométrie Exemples

$\sec (\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3}))$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \frac{\sqrt{3}}{3})$ . Ainsi, $\sec (\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3}))$ est $\sqrt{1 + {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{1 + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{1 + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{1 + \frac{3^{1}}{3^{2}}}$

Étape 2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{1 + \frac{3}{3^{2}}}$

Étape 3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{3}{9}}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 4.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\sqrt{1 + \frac{3 (1)}{9}}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\sqrt{1 + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{1 + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{1 + \frac{1}{3}}$

Étape 5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{3 + 1}{3}}$

Étape 5.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{4}{3}}$

Étape 6

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Étape 7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 8

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 9.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 9.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 9.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 9.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$1.15470053 \dots$