Trigonométrie Exemples

f (x) = x^{2} + c

$f (x) = x^{2} + c$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez

x^{2}

$x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

y - x^{2} = c

$y - x^{2} = c$

Étape 1.2

Soustrayez

c

$c$ des deux côtés de l’équation.

y - x^{2} - c = 0

$y - x^{2} - c = 0$

Étape 1.3

Déplacez

y

$y$ .

- x^{2} - c + y = 0

$- x^{2} - c + y = 0$

- x^{2} - c + y = 0

$- x^{2} - c + y = 0$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable

h

$h$ représente le décalage x par rapport à l’origine,

k

$k$ représente le décalage y par rapport à l’origine,

a

$a$ .

a = 1

$a = 1$

b = 1

$b = 1$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de

(h, k)

$(h, k)$ . Remplacez les valeurs de

h

$h$ et

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez

c

$c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de

a

$a$ et

b

$b$ dans la formule.

\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

\sqrt{1 + {(1)}^{2}}

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

\sqrt{1 + 1}

$\sqrt{1 + 1}$

Étape 5.3.3

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant

a

$a$ à

k

$k$ .

(h, k + a)

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de

h

$h$ ,

a

$a$ et

k

$k$ dans la formule et simplifiez.

(0, 1)

$(0, 1)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant

a

$a$ à

k

$k$ .

(h, k - a)

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de

h

$h$ ,

a

$a$ et

k

$k$ dans la formule et simplifiez.

(0, - 1)

$(0, - 1)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de

(h, k \pm a)

$(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

(0, 1), (0, - 1)

$(0, 1), (0, - 1)$

(0, 1), (0, - 1)

$(0, 1), (0, - 1)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant

c

$c$ à

k

$k$ .

(h, k + c)

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de

h

$h$ ,

c

$c$ et

k

$k$ dans la formule et simplifiez.

(0, \sqrt{2})

$(0, \sqrt{2})$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant

$c$ à

$k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de

$h$ ,

$c$ et

$k$ dans la formule et simplifiez.

$(0, - \sqrt{2})$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de

$(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(0, \sqrt{2}), (0, - \sqrt{2})$

Étape 8

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 8.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de

$b$ et

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 8.3.2

Multipliez

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 8.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.3.1

Multipliez

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 8.3.3.2

Élevez

$\sqrt{2}$ à la puissance

$1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 8.3.3.3

Élevez

$\sqrt{2}$ à la puissance

$1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 8.3.3.4

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.3.5

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 8.3.3.6

Réécrivez

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

$2$ .

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Étape 8.3.3.6.1

Utilisez

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

$\sqrt{2}$ comme

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.3.6.3

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 8.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 8.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 9

Les asymptotes suivent la forme

$y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Étape 10

Simplifiez

$1 \cdot x + 0$ .

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Étape 10.1

Additionnez

$1 \cdot x$ et

$0$ .

$y = 1 \cdot x$

Étape 10.2

Multipliez

$x$ par

$1$ .

$y = x$

Étape 11

Simplifiez

$- 1 \cdot x + 0$ .

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Étape 11.1

Additionnez

$- 1 \cdot x$ et

$0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Étape 11.2

Réécrivez

$- 1 x$ comme

$- x$ .

$y = - x$

Étape 12

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = x, y = - x$

Étape 13

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre :

$(0, 0)$

Sommets :

$(0, 1), (0, - 1)$

Foyers :

$(0, \sqrt{2}), (0, - \sqrt{2})$

Excentricité :

$(0, \sqrt{2}), (0, - \sqrt{2})$

Paramètre focal :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Asymptotes :

$y = x$ ,

$y = - x$

Étape 14