Trigonométrie Exemples

$f (x) = x^{2 - 4 x} + 16$

Étape 1

Déterminez où l’expression $x^{2 - 4 x} + 16$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} x^{- 4 x + 2} + 16$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} x^{- 4 x + 2} + lim_{x \to \infty} 16$

Étape 3.2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $x^{- 4 x + 2}$ comme $e^{\ln (x^{- 4 x + 2})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln (x^{- 4 x + 2})} + lim_{x \to \infty} 16$

Étape 3.2.2

Développez $\ln (x^{- 4 x + 2})$ en déplaçant $- 4 x + 2$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \infty} e^{(- 4 x + 2) \ln (x)} + lim_{x \to \infty} 16$

Étape 3.3

Comme l’exposant $(- 4 x + 2) \ln (x)$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{(- 4 x + 2) \ln (x)}$ approche de $0$ .

$0 + lim_{x \to \infty} 16$

Étape 3.4

Évaluez la limite.

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Étape 3.4.1

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$0 + 16$

Étape 3.4.2

Additionnez $0$ et $16$ .

$16$

Étape 4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 16$

Étape 5

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = 16$

Aucune asymptote oblique

Étape 7