Trigonométrie Exemples

$f (x) = \sqrt{\frac{2 - 81 x}{3 x + 8}}$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $y = \sqrt{\frac{2 - 81 x}{3 x + 8}}$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{(2 - 81 x) (3 x + 8)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(2 - 81 x) (3 x + 8) \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 - 81 x = 0$

$3 x + 8 = 0$

Étape 1.2.2

Définissez $2 - 81 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Définissez $2 - 81 x$ égal à $0$ .

$2 - 81 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Résolvez $2 - 81 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 81 x = - 2$

Étape 1.2.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- 81 x = - 2$ par $- 81$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 81 x = - 2$ par $- 81$ .

$\frac{- 81 x}{- 81} = \frac{- 2}{- 81}$

Étape 1.2.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 81$ .

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Étape 1.2.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 81 x}{- 81} = \frac{- 2}{- 81}$

Étape 1.2.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 81}$

Étape 1.2.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{2}{81}$

Étape 1.2.3

Définissez $3 x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Définissez $3 x + 8$ égal à $0$ .

$3 x + 8 = 0$

Étape 1.2.3.2

Résolvez $3 x + 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 8$

Étape 1.2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 8$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 8$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Étape 1.2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Étape 1.2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{8}{3}$

Étape 1.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 - 81 x) (3 x + 8) \geq 0$ vraie.

$x = \frac{2}{81}, - \frac{8}{3}$

Étape 1.2.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{8}{3}$

$- \frac{8}{3} < x < \frac{2}{81}$

$x > \frac{2}{81}$

Étape 1.2.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.2.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{8}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{8}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 1.2.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$(2 - 81 \cdot - 5) (3 (- 5) + 8) \geq 0$

Étape 1.2.6.1.3

Le côté gauche $- 2849$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{8}{3} < x < \frac{2}{81}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{8}{3} < x < \frac{2}{81}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.2.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(2 - 81 \cdot 0) (3 (0) + 8) \geq 0$

Étape 1.2.6.2.3

Le côté gauche $16$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{2}{81}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{2}{81}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 1.2.6.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$(2 - 81 \cdot 3) (3 (3) + 8) \geq 0$

Étape 1.2.6.3.3

Le côté gauche $- 4097$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{8}{3}$ Faux

$- \frac{8}{3} < x < \frac{2}{81}$ Vrai

$x > \frac{2}{81}$ Faux

$x < - \frac{8}{3}$ Faux

$- \frac{8}{3} < x < \frac{2}{81}$ Vrai

$x > \frac{2}{81}$ Faux

Étape 1.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{8}{3} \leq x \leq \frac{2}{81}$

Étape 1.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{(2 - 81 x) (3 x + 8)}}{3 x + 8}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 x + 8 = 0$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 8$

Étape 1.4.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 8$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.4.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 8$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Étape 1.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{8}{3}$

Étape 1.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \frac{8}{3}, \frac{2}{81}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \frac{8}{3} < x \leq \frac{2}{81}}$

Notation d’intervalle :

$(- \frac{8}{3}, \frac{2}{81}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \frac{8}{3} < x \leq \frac{2}{81}}$

Étape 2

Pour déterminer les points finaux, remplacez les bornes des valeurs $x$ du domaine par $f (x) = \frac{\sqrt{(2 - 81 x) (3 x + 8)}}{3 x + 8}$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{8}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{\sqrt{(2 - 81 (- \frac{8}{3})) (3 (- \frac{8}{3}) + 8)}}{3 (- \frac{8}{3}) + 8}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{3}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{\sqrt{(2 - 81 (- \frac{8}{3})) (3 (- \frac{8}{3}) + 8)}}{3 (\frac{- 8}{3}) + 8}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{\sqrt{(2 - 81 (- \frac{8}{3})) (3 (- \frac{8}{3}) + 8)}}{3 (\frac{- 8}{3}) + 8}$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{\sqrt{(2 - 81 (- \frac{8}{3})) (3 (- \frac{8}{3}) + 8)}}{- 8 + 8}$

Étape 2.3

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$f (- \frac{8}{3}) = \frac{\sqrt{(2 - 81 (- \frac{8}{3})) (3 (- \frac{8}{3}) + 8)}}{0}$

Étape 2.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

$f (- \frac{8}{3}) = Undefined$

Étape 2.5

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2}{81}$ dans l’expression.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{(2 - 81 (\frac{2}{81})) (3 (\frac{2}{81}) + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Annulez le facteur commun de $81$ .

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Étape 2.6.1.1.1

Factorisez $81$ à partir de $- 81$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{(2 + 81 (- 1) (\frac{2}{81})) (3 (\frac{2}{81}) + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{(2 + 81 \cdot (- 1 (\frac{2}{81}))) (3 (\frac{2}{81}) + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{(2 - 1 \cdot 2) (3 (\frac{2}{81}) + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{(2 - 2) (3 (\frac{2}{81}) + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6.1.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (3 (\frac{2}{81}) + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.6.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (3 (\frac{2}{3 (27)}) + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (3 (\frac{2}{3 \cdot 27}) + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (\frac{2}{27} + 8)}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6.1.5

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (\frac{2}{27} + 8 \cdot \frac{27}{27})}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6.1.6

Associez $8$ et $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (\frac{2}{27} + \frac{8 \cdot 27}{27})}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (\frac{2 + 8 \cdot 27}{27})}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.8.1

Multipliez $8$ par $27$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (\frac{2 + 216}{27})}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6.1.8.2

Additionnez $2$ et $216$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0 (\frac{218}{27})}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6.1.9

Multipliez $0$ par $\frac{218}{27}$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6.1.10

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{\sqrt{0^{2}}}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6.1.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{3 (\frac{2}{81}) + 8}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{3 (\frac{2}{3 (27)}) + 8}$

Étape 2.6.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{3 (\frac{2}{3 \cdot 27}) + 8}$

Étape 2.6.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{\frac{2}{27} + 8}$

Étape 2.6.2.2

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{\frac{2}{27} + 8 \cdot \frac{27}{27}}$

Étape 2.6.2.3

Associez $8$ et $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{\frac{2}{27} + \frac{8 \cdot 27}{27}}$

Étape 2.6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{\frac{2 + 8 \cdot 27}{27}}$

Étape 2.6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.5.1

Multipliez $8$ par $27$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{\frac{2 + 216}{27}}$

Étape 2.6.2.5.2

Additionnez $2$ et $216$ .

$f (\frac{2}{81}) = \frac{0}{\frac{218}{27}}$

Étape 2.6.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{2}{81}) = 0 (\frac{27}{218})$

Étape 2.6.4

Multipliez $0$ par $\frac{27}{218}$ .

$f (\frac{2}{81}) = 0$

Étape 2.6.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3

Les points finaux sont $(- \frac{8}{3}, Undefined), (\frac{2}{81}, 0)$ .

$(- \frac{8}{3}, Undefined), (\frac{2}{81}, 0)$

Étape 4

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(- \frac{8}{3}, Undefined), (\frac{2}{81}, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{8}{3} & Undefined \\ \frac{2}{81} & 0 \end{array}$

Étape 5