Trigonométrie Exemples

$f (x) = \frac{10 x (100 - x)}{25 + x}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{10 x (100 - x)}{25 + x}$ est indéfinie.

$x = - 25$

Étape 2

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 3

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Étape 4

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 5

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 5.1

Factorisez $10 x$ à partir de $1000 x - 10 x^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $10 x$ à partir de $1000 x$ .

$\frac{10 x (100) - 10 x^{2}}{25 + x}$

Étape 5.1.2

Factorisez $10 x$ à partir de $- 10 x^{2}$ .

$\frac{10 x (100) + 10 x (- x)}{25 + x}$

Étape 5.1.3

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x (100) + 10 x (- x)$ .

$\frac{10 x (100 - x)}{25 + x}$

Étape 5.2

Développez $10 x (100 - x)$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{10 x \cdot 100 + 10 x (- x)}{25 + x}$

Étape 5.2.2

Déplacez $x$ .

$\frac{10 \cdot (100 x) + 10 x (- x)}{25 + x}$

Étape 5.2.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{10 \cdot (100 x) + 10 x \cdot (- 1 x)}{25 + x}$

Étape 5.2.4

Déplacez $x$ .

$\frac{10 \cdot (100 x) + 10 \cdot (- 1 x \cdot x)}{25 + x}$

Étape 5.2.5

Multipliez $10$ par $100$ .

$\frac{1000 x + 10 \cdot (- 1 x \cdot x)}{25 + x}$

Étape 5.2.6

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$\frac{1000 x - 10 x \cdot x}{25 + x}$

Étape 5.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1000 x - 10 (x \cdot x)}{25 + x}$

Étape 5.2.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1000 x - 10 (x \cdot x)}{25 + x}$

Étape 5.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1000 x - 10 x^{1 + 1}}{25 + x}$

Étape 5.2.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1000 x - 10 x^{2}}{25 + x}$

Étape 5.2.11

Remettez dans l’ordre $1000 x$ et $- 10 x^{2}$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 1000 x}{25 + x}$

Étape 5.3

Remettez dans l’ordre $25$ et $x$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 1000 x}{x + 25}$

Étape 5.4

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$25$

$10 x^{2}$

$1000 x$

$0$

Étape 5.5

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 10 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$10 x$
	$x$	+	$25$	-	$10 x^{2}$	+	$1000 x$	+	$0$

Étape 5.6

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$10 x$
$x$	+	$25$	-	$10 x^{2}$	+	$1000 x$	+	$0$
			-	$10 x^{2}$	-	$250 x$

Étape 5.7

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 10 x^{2} - 250 x$

			-	$10 x$
$x$	+	$25$	-	$10 x^{2}$	+	$1000 x$	+	$0$
			+	$10 x^{2}$	+	$250 x$

Étape 5.8

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$10 x$
$x$	+	$25$	-	$10 x^{2}$	+	$1000 x$	+	$0$
			+	$10 x^{2}$	+	$250 x$
					+	$1250 x$

Étape 5.9

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$10 x$
$x$	+	$25$	-	$10 x^{2}$	+	$1000 x$	+	$0$
			+	$10 x^{2}$	+	$250 x$
					+	$1250 x$	+	$0$

Étape 5.10

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $1250 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$10 x$	+	$1250$
$x$	+	$25$	-	$10 x^{2}$	+	$1000 x$	+	$0$
			+	$10 x^{2}$	+	$250 x$
					+	$1250 x$	+	$0$

Étape 5.11

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$10 x$	+	$1250$
$x$	+	$25$	-	$10 x^{2}$	+	$1000 x$	+	$0$
			+	$10 x^{2}$	+	$250 x$
					+	$1250 x$	+	$0$
					+	$1250 x$	+	$31250$

Étape 5.12

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $1250 x + 31250$

			-	$10 x$	+	$1250$
$x$	+	$25$	-	$10 x^{2}$	+	$1000 x$	+	$0$
			+	$10 x^{2}$	+	$250 x$
					+	$1250 x$	+	$0$
					-	$1250 x$	-	$31250$

Étape 5.13

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$10 x$	+	$1250$
$x$	+	$25$	-	$10 x^{2}$	+	$1000 x$	+	$0$
			+	$10 x^{2}$	+	$250 x$
					+	$1250 x$	+	$0$
					-	$1250 x$	-	$31250$
							-	$31250$

Étape 5.14

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- 10 x + 1250 - \frac{31250}{x + 25}$

Étape 5.15

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = - 10 x + 1250$

Étape 6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 25$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = - 10 x + 1250$

Étape 7