Trigonométrie Exemples

$f (x) = | 2 \cos (\frac{π x}{2}) |$

Étape 1

Déterminez le sommet de la valeur absolue. Dans ce cas, le sommet de $y = 2 | \cos (\frac{π x}{2}) |$ est $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

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Étape 1.1

Pour déterminer la coordonnée $x$ du sommet, définissez l’intérieur de la valeur absolue $\cos (\frac{π x}{2})$ égal à $0$ . Dans ce cas, $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ .

$\cos (\frac{π x}{2}) = 0$

Étape 1.2

Résolvez l’équation $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ pour déterminer la coordonnée $x$ pour le sommet de la valeur absolue.

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Étape 1.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$\frac{π x}{2} = \arccos (0)$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$π x = π$

Étape 1.2.4

Divisez chaque terme dans $π x = π$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.1

Divisez chaque terme dans $π x = π$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{π}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.3.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.2.4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{π}{π}$

Étape 1.2.4.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = 1$

Étape 1.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$\frac{π x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.6.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.2.6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.1.1

Simplifiez $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.6.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.6.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.6.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.2.2.1

Simplifiez $\frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$ .

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Étape 1.2.6.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.6.2.2.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Étape 1.2.6.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.6.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.6.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{π} (2 π \cdot 2 - π)$

Étape 1.2.6.2.2.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{1}{π} (4 π - π)$

Étape 1.2.6.2.2.1.6

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{1}{π} (3 π)$

Étape 1.2.6.2.2.1.7

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.2.6.2.2.1.7.1

Factorisez $π$ à partir de $3 π$ .

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

Étape 1.2.6.2.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

Étape 1.2.6.2.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$x = 3$

Étape 1.2.7

Déterminez la période de $\cos (\frac{π x}{2})$ .

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Étape 1.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.7.2

Remplacez $b$ par $\frac{π}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

Étape 1.2.7.3

$\frac{π}{2}$ est d’environ $1.57079632$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

Étape 1.2.7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{2}{π}$

Étape 1.2.7.5

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.2.7.5.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Étape 1.2.7.5.2

Annulez le facteur commun.

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

Étape 1.2.7.5.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 2$

Étape 1.2.7.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$

Étape 1.2.8

La période de la fonction $\cos (\frac{π x}{2})$ est $4$ si bien que les valeurs se répètent tous les $4$ radians dans les deux sens.

$x = 1 + 4 n, 3 + 4 n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.9

Consolidez les réponses.

$x = 1 + 2 n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Remplacez la variable $x$ par $1 + 2 n$ dans l’expression.

$y = 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

Étape 1.4

Le sommet de la valeur absolue est $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ .

$(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

La valeur absolue peut être représentée avec les points autour du sommet $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 + 2 n & 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

Étape 4