Trigonométrie Exemples

$f (x) = \frac{2 e - x}{x} - \ln (x)$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\frac{2 e - x - x \ln (x)}{x}$ est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 1.2

Comme $\frac{2 e - x - x \ln (x)}{x}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\frac{2 e - x - x \ln (x)}{x}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 1.3

Ignorez le logarithme et étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 1.4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 1$

$m = 1$

Étape 1.5

Comme $n = m$ , l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ où $a = - 2$ et $b = 1$ .

$y = - 2$

Étape 1.6

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = - 2$

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = - 2$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{2 e - (1)}{1} - \ln (1)$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1) = \frac{2 e - 1}{1} - \ln (1)$

Étape 2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1

Divisez $2 e - 1$ par $1$ .

$f (1) = 2 e - 1 - \ln (1)$

Étape 2.2.2.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (1) = 2 e - 1 - 0$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (1) = 2 e - 1 + 0$

Étape 2.2.3

Additionnez $2 e$ et $0$ .

$f (1) = 2 e - 1$

Étape 2.2.4

La réponse finale est $2 e - 1$ .

$2 e - 1$

Étape 2.3

Convertissez $2 e - 1$ en décimale.

$y = 4.43656365$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{2 e - (2)}{2} - \ln (2)$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (2) = \frac{2 e - 2}{2} - \ln (2)$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun à $2 e - 2$ et $2$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e$ .

$f (2) = \frac{2 (e) - 2}{2} - \ln (2)$

Étape 3.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (2) = \frac{2 (e) + 2 \cdot - 1}{2} - \ln (2)$

Étape 3.2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (e) + 2 (- 1)$ .

$f (2) = \frac{2 (e - 1)}{2} - \ln (2)$

Étape 3.2.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (2) = \frac{2 (e - 1)}{2 (1)} - \ln (2)$

Étape 3.2.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (2) = \frac{2 (e - 1)}{2 \cdot 1} - \ln (2)$

Étape 3.2.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (2) = \frac{e - 1}{1} - \ln (2)$

Étape 3.2.2.4.4

Divisez $e - 1$ par $1$ .

$f (2) = e - 1 - \ln (2)$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $e - 1 - \ln (2)$ .

$e - 1 - \ln (2)$

Étape 3.3

Convertissez $e - 1 - \ln (2)$ en décimale.

$y = 1.02513464$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{2 e - (3)}{3} - \ln (3)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3}{3} - \ln (3)$

Étape 4.2.2

Pour écrire $- \ln (3)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3}{3} - \ln (3) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.2.3

Associez les fractions.

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Étape 4.2.3.1

Associez $- \ln (3)$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3}{3} + \frac{- \ln (3) \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (3) = \frac{2 e - 3 - \ln (3) \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $- \ln (3) \cdot 3$ .

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Étape 4.2.4.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3 - 3 \ln (3)}{3}$

Étape 4.2.4.1.2

Simplifiez $- 3 \ln (3)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$f (3) = \frac{2 e - 3 - \ln (3^{3})}{3}$

Étape 4.2.4.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = \frac{2 e - 3 - \ln (27)}{3}$

Étape 4.2.5

La réponse finale est $\frac{2 e - 3 - \ln (27)}{3}$ .

$\frac{2 e - 3 - \ln (27)}{3}$

Étape 4.3

Convertissez $\frac{2 e - 3 - \ln (27)}{3}$ en décimale.

$y = - 0.2864244$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 0$ et les points $(1, 4.43656365), (2, 1.02513464), (3, - 0.2864244)$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 4.437 \\ 2 & 1.025 \\ 3 & - 0.286 \end{array}$

Étape 6