Trigonométrie Exemples

$9 x^{2} - 4 y^{2} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{9}} - \frac{y^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, 0)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.3.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{2^{2}}}$

Étape 5.3.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{4}}$

Étape 5.3.7

Pour écrire $\frac{1}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

Étape 5.3.8

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}}$

Étape 5.3.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.9.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}}$

Étape 5.3.9.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}}$

Étape 5.3.9.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9}}$

Étape 5.3.9.4

Multipliez $4$ par $9$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{36}}$

Étape 5.3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{4 + 9}{36}}$

Étape 5.3.11

Additionnez $4$ et $9$ .

$\sqrt{\frac{13}{36}}$

Étape 5.3.12

Réécrivez $\sqrt{\frac{13}{36}}$ comme $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$

Étape 5.3.13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.13.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}}$

Étape 5.3.13.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{13}}{6}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{1}{3}, 0)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \frac{1}{3}, 0)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(\frac{1}{3}, 0), (- \frac{1}{3}, 0)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{\sqrt{13}}{6}, 0)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \frac{\sqrt{13}}{6}, 0)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(\frac{\sqrt{13}}{6}, 0), (- \frac{\sqrt{13}}{6}, 0)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}}{\frac{1}{3}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \cdot 3$

Étape 8.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \cdot 3$

Étape 8.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \cdot 3$

Étape 8.3.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + {(\frac{1}{2})}^{2}} \cdot 3$

Étape 8.3.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1^{2}}{2^{2}}} \cdot 3$

Étape 8.3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{2^{2}}} \cdot 3$

Étape 8.3.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{4}} \cdot 3$

Étape 8.3.8

Pour écrire $\frac{1}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}} \cdot 3$

Étape 8.3.9

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

Étape 8.3.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.10.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

Étape 8.3.10.2

Multipliez $9$ par $4$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9}} \cdot 3$

Étape 8.3.10.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9}} \cdot 3$

Étape 8.3.10.4

Multipliez $4$ par $9$ .

$\sqrt{\frac{4}{36} + \frac{9}{36}} \cdot 3$

Étape 8.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{4 + 9}{36}} \cdot 3$

Étape 8.3.12

Additionnez $4$ et $9$ .

$\sqrt{\frac{13}{36}} \cdot 3$

Étape 8.3.13

Réécrivez $\sqrt{\frac{13}{36}}$ comme $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}} \cdot 3$

Étape 8.3.14

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.14.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 3$

Étape 8.3.14.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{13}}{6} \cdot 3$

Étape 8.3.15

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.3.15.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{\sqrt{13}}{3 (2)} \cdot 3$

Étape 8.3.15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{13}}{3 \cdot 2} \cdot 3$

Étape 8.3.15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{13}}{2}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\sqrt{13}}}{6}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\sqrt{13}} \cdot \frac{1}{6}$

Étape 9.3.2

Associez.

$\frac{\frac{1}{2^{2}} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Étape 9.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Étape 9.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Étape 9.3.3.3

Déplacez $6$ à gauche de $\sqrt{13}$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{6 \sqrt{13}}$

Étape 9.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6 \sqrt{13}}$

Étape 9.3.5

Multipliez $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6 \sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})$

Étape 9.3.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.6.1

Multipliez $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ par $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \sqrt{13} \sqrt{13}}$

Étape 9.3.6.2

Déplacez $\sqrt{13}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 (\sqrt{13} \sqrt{13})}$

Étape 9.3.6.3

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})}$

Étape 9.3.6.4

Élevez $\sqrt{13}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})}$

Étape 9.3.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{2}}$

Étape 9.3.6.7

Réécrivez ${\sqrt{13}}^{2}$ comme $13$ .

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Étape 9.3.6.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13}$ comme $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.6.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.6.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.6.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.6.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.6.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{1}}$

Étape 9.3.6.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13}$

Étape 9.3.7

Multipliez $6$ par $13$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$

Étape 9.3.8

Multipliez $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$ .

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Étape 9.3.8.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{\sqrt{13}}{78}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{4 \cdot 78}$

Étape 9.3.8.2

Multipliez $4$ par $78$ .

$\frac{\sqrt{13}}{312}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{3}{2} x + 0$

Étape 11

Simplifiez $\frac{3}{2} x + 0$ .

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Étape 11.1

Additionnez $\frac{3}{2} x$ et $0$ .

$y = \frac{3}{2} x$

Étape 11.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{3 x}{2}$

Étape 12

Simplifiez $- \frac{3}{2} x + 0$ .

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Étape 12.1

Additionnez $- \frac{3}{2} x$ et $0$ .

$y = - \frac{3}{2} x$

Étape 12.2

Associez $x$ et $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2}$

Étape 12.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{3 x}{2}, y = - \frac{3 x}{2}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(0, 0)$

Sommets : $(\frac{1}{3}, 0), (- \frac{1}{3}, 0)$

Foyers : $(\frac{\sqrt{13}}{6}, 0), (- \frac{\sqrt{13}}{6}, 0)$

Excentricité : $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Paramètre focal : $\frac{\sqrt{13}}{312}$

Asymptotes : $y = \frac{3 x}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{2}$

Étape 15