Trigonométrie Exemples

$6 x^{2} - 8 x - 4 y^{2} + 3 y - 80 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Ajoutez $80$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x^{2} - 8 x - 4 y^{2} + 3 y = 80$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $6 x^{2} - 8 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 6$

$b = - 8$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 6}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 6}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (6)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 6}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 4}{6}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $6$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 (- 2)}{6}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Étape 1.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{3}$

Étape 1.2.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{2}{3}$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 6}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 6}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $6$ .

$e = 0 - \frac{64}{24}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Annulez le facteur commun à $64$ et $24$ .

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Étape 1.2.4.2.1.3.1

Factorisez $8$ à partir de $64$ .

$e = 0 - \frac{8 (8)}{24}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.1.3.2.1

Factorisez $8$ à partir de $24$ .

$e = 0 - \frac{8 \cdot 8}{8 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{8 \cdot 8}{8 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{8}{3}$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $\frac{8}{3}$ de $0$ .

$e = - \frac{8}{3}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{8}{3}$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{8}{3}$

Étape 1.3

Remplacez $6 x^{2} - 8 x$ par $6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{8}{3}$ dans l’équation $6 x^{2} - 8 x - 4 y^{2} + 3 y = 80$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{8}{3} - 4 y^{2} + 3 y = 80$

Étape 1.4

Déplacez $- \frac{8}{3}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{8}{3}$ des deux côtés.

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 y^{2} + 3 y = 80 + \frac{8}{3}$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- 4 y^{2} + 3 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 4$

$b = 3$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 \cdot - 4}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.2.1

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$d = \frac{3}{- 8}$

Étape 1.5.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{3}{8}$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{3^{2}}{4 \cdot - 4}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot - 4}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$e = 0 - \frac{9}{- 16}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = 0 - - \frac{9}{16}$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- - \frac{9}{16}$ .

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Étape 1.5.4.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{9}{16})$

Étape 1.5.4.2.1.4.2

Multipliez $\frac{9}{16}$ par $1$ .

$e = 0 + \frac{9}{16}$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $\frac{9}{16}$ .

$e = \frac{9}{16}$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} + \frac{9}{16}$ .

$- 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} + \frac{9}{16}$

Étape 1.6

Remplacez $- 4 y^{2} + 3 y$ par $- 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} + \frac{9}{16}$ dans l’équation $6 x^{2} - 8 x - 4 y^{2} + 3 y = 80$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} + \frac{9}{16} = 80 + \frac{8}{3}$

Étape 1.7

Déplacez $\frac{9}{16}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{9}{16}$ des deux côtés.

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = 80 + \frac{8}{3} - \frac{9}{16}$

Étape 1.8

Simplifiez $80 + \frac{8}{3} - \frac{9}{16}$ .

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Étape 1.8.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.8.1.1

Écrivez $80$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{80}{1} + \frac{8}{3} - \frac{9}{16}$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $\frac{80}{1}$ par $\frac{48}{48}$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{80}{1} \cdot \frac{48}{48} + \frac{8}{3} - \frac{9}{16}$

Étape 1.8.1.3

Multipliez $\frac{80}{1}$ par $\frac{48}{48}$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{80 \cdot 48}{48} + \frac{8}{3} - \frac{9}{16}$

Étape 1.8.1.4

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{16}{16}$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{80 \cdot 48}{48} + \frac{8}{3} \cdot \frac{16}{16} - \frac{9}{16}$

Étape 1.8.1.5

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $\frac{16}{16}$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{80 \cdot 48}{48} + \frac{8 \cdot 16}{3 \cdot 16} - \frac{9}{16}$

Étape 1.8.1.6

Multipliez $\frac{9}{16}$ par $\frac{3}{3}$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{80 \cdot 48}{48} + \frac{8 \cdot 16}{3 \cdot 16} - (\frac{9}{16} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 1.8.1.7

Multipliez $\frac{9}{16}$ par $\frac{3}{3}$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{80 \cdot 48}{48} + \frac{8 \cdot 16}{3 \cdot 16} - \frac{9 \cdot 3}{16 \cdot 3}$

Étape 1.8.1.8

Multipliez $3$ par $16$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{80 \cdot 48}{48} + \frac{8 \cdot 16}{48} - \frac{9 \cdot 3}{16 \cdot 3}$

Étape 1.8.1.9

Réorganisez les facteurs de $16 \cdot 3$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{80 \cdot 48}{48} + \frac{8 \cdot 16}{48} - \frac{9 \cdot 3}{3 \cdot 16}$

Étape 1.8.1.10

Multipliez $3$ par $16$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{80 \cdot 48}{48} + \frac{8 \cdot 16}{48} - \frac{9 \cdot 3}{48}$

Étape 1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{80 \cdot 48 + 8 \cdot 16 - 9 \cdot 3}{48}$

Étape 1.8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.3.1

Multipliez $80$ par $48$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{3840 + 8 \cdot 16 - 9 \cdot 3}{48}$

Étape 1.8.3.2

Multipliez $8$ par $16$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{3840 + 128 - 9 \cdot 3}{48}$

Étape 1.8.3.3

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{3840 + 128 - 27}{48}$

Étape 1.8.4

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.8.4.1

Additionnez $3840$ et $128$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{3968 - 27}{48}$

Étape 1.8.4.2

Soustrayez $27$ de $3968$ .

$6 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - 4 {(y - \frac{3}{8})}^{2} = \frac{3941}{48}$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $\frac{3941}{48}$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{6 {(x - \frac{2}{3})}^{2}}{\frac{3941}{48}} - \frac{4 {(y - \frac{3}{8})}^{2}}{\frac{3941}{48}} = \frac{\frac{3941}{48}}{\frac{3941}{48}}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - \frac{2}{3})}^{2}}{\frac{3941}{288}} - \frac{{(y - \frac{3}{8})}^{2}}{\frac{3941}{192}} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = \frac{\sqrt{7882}}{24}$

$b = \frac{\sqrt{11823}}{24}$

$k = \frac{3}{8}$

$h = \frac{2}{3}$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(\frac{2}{3}, \frac{3}{8})$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{7882}}{24})}^{2} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{7882}}{24}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{7882}}^{2}}{24^{2}} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{7882}}^{2}$ comme $7882$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7882}$ comme $7882^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(7882^{\frac{1}{2}})}^{2}}{24^{2}} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{7882^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{24^{2}} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{7882^{\frac{2}{2}}}{24^{2}} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{7882^{\frac{2}{2}}}{24^{2}} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{7882^{1}}{24^{2}} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{7882}{24^{2}} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}}$

Étape 5.3.3

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{7882}{576} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun à $7882$ et $576$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $7882$ .

$\sqrt{\frac{2 (3941)}{576} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}}$

Étape 5.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $576$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3941}{2 \cdot 288} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}}$

Étape 5.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3941}{2 \cdot 288} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}}$

Étape 5.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{3941}{288} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}}$

Étape 5.3.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{11823}}{24}$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{{\sqrt{11823}}^{2}}{24^{2}}}$

Étape 5.3.6

Réécrivez ${\sqrt{11823}}^{2}$ comme $11823$ .

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Étape 5.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{11823}$ comme $11823^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{{(11823^{\frac{1}{2}})}^{2}}{24^{2}}}$

Étape 5.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{11823^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{24^{2}}}$

Étape 5.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{11823^{\frac{2}{2}}}{24^{2}}}$

Étape 5.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{11823^{\frac{2}{2}}}{24^{2}}}$

Étape 5.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{11823^{1}}{24^{2}}}$

Étape 5.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{11823}{24^{2}}}$

Étape 5.3.7

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{11823}{576}}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun à $11823$ et $576$ .

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Étape 5.3.8.1

Factorisez $3$ à partir de $11823$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{3 (3941)}{576}}$

Étape 5.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $576$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{3 \cdot 3941}{3 \cdot 192}}$

Étape 5.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{3 \cdot 3941}{3 \cdot 192}}$

Étape 5.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{3941}{192}}$

Étape 5.3.9

Pour écrire $\frac{3941}{288}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3941}{192}}$

Étape 5.3.10

Pour écrire $\frac{3941}{192}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3941}{192} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 5.3.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $576$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.11.1

Multipliez $\frac{3941}{288}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3941 \cdot 2}{288 \cdot 2} + \frac{3941}{192} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 5.3.11.2

Multipliez $288$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{3941 \cdot 2}{576} + \frac{3941}{192} \cdot \frac{3}{3}}$

Étape 5.3.11.3

Multipliez $\frac{3941}{192}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{3941 \cdot 2}{576} + \frac{3941 \cdot 3}{192 \cdot 3}}$

Étape 5.3.11.4

Multipliez $192$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{3941 \cdot 2}{576} + \frac{3941 \cdot 3}{576}}$

Étape 5.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{3941 \cdot 2 + 3941 \cdot 3}{576}}$

Étape 5.3.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.13.1

Multipliez $3941$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{7882 + 3941 \cdot 3}{576}}$

Étape 5.3.13.2

Multipliez $3941$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{7882 + 11823}{576}}$

Étape 5.3.13.3

Additionnez $7882$ et $11823$ .

$\sqrt{\frac{19705}{576}}$

Étape 5.3.14

Réécrivez $\sqrt{\frac{19705}{576}}$ comme $\frac{\sqrt{19705}}{\sqrt{576}}$ .

$\frac{\sqrt{19705}}{\sqrt{576}}$

Étape 5.3.15

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.15.1

Réécrivez $576$ comme $24^{2}$ .

$\frac{\sqrt{19705}}{\sqrt{24^{2}}}$

Étape 5.3.15.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{19705}}{24}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7882}}{24}, \frac{3}{8})$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{7882}}{24}, \frac{3}{8})$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7882}}{24}, \frac{3}{8}), (\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{7882}}{24}, \frac{3}{8})$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{19705}}{24}, \frac{3}{8})$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{19705}}{24}, \frac{3}{8})$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{19705}}{24}, \frac{3}{8}), (\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{19705}}{24}, \frac{3}{8})$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{7882}}{24})}^{2} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}}}{\frac{\sqrt{7882}}{24}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{7882}}{24})}^{2} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{7882}}{24}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{7882}}^{2}}{24^{2}} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.3

Réécrivez ${\sqrt{7882}}^{2}$ comme $7882$ .

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Étape 8.3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7882}$ comme $7882^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(7882^{\frac{1}{2}})}^{2}}{24^{2}} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{7882^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{24^{2}} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{7882^{\frac{2}{2}}}{24^{2}} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{7882^{\frac{2}{2}}}{24^{2}} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{7882^{1}}{24^{2}} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.3.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{7882}{24^{2}} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.4

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{7882}{576} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.5

Annulez le facteur commun à $7882$ et $576$ .

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Étape 8.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $7882$ .

$\sqrt{\frac{2 (3941)}{576} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $576$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3941}{2 \cdot 288} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3941}{2 \cdot 288} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{3941}{288} + {(\frac{\sqrt{11823}}{24})}^{2}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{11823}}{24}$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{{\sqrt{11823}}^{2}}{24^{2}}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.7

Réécrivez ${\sqrt{11823}}^{2}$ comme $11823$ .

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Étape 8.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{11823}$ comme $11823^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{{(11823^{\frac{1}{2}})}^{2}}{24^{2}}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{11823^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{24^{2}}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{11823^{\frac{2}{2}}}{24^{2}}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{11823^{\frac{2}{2}}}{24^{2}}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{11823^{1}}{24^{2}}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{11823}{24^{2}}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.8

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{11823}{576}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.9

Annulez le facteur commun à $11823$ et $576$ .

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Étape 8.3.9.1

Factorisez $3$ à partir de $11823$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{3 (3941)}{576}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $576$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{3 \cdot 3941}{3 \cdot 192}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{3 \cdot 3941}{3 \cdot 192}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{3941}{288} + \frac{3941}{192}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.10

Pour écrire $\frac{3941}{288}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3941}{192}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.11

Pour écrire $\frac{3941}{192}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{3941}{288} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3941}{192} \cdot \frac{3}{3}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.12

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $576$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.3.12.1

Multipliez $\frac{3941}{288}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3941 \cdot 2}{288 \cdot 2} + \frac{3941}{192} \cdot \frac{3}{3}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.12.2

Multipliez $288$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{3941 \cdot 2}{576} + \frac{3941}{192} \cdot \frac{3}{3}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.12.3

Multipliez $\frac{3941}{192}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{3941 \cdot 2}{576} + \frac{3941 \cdot 3}{192 \cdot 3}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.12.4

Multipliez $192$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{3941 \cdot 2}{576} + \frac{3941 \cdot 3}{576}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{3941 \cdot 2 + 3941 \cdot 3}{576}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.14.1

Multipliez $3941$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{7882 + 3941 \cdot 3}{576}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.14.2

Multipliez $3941$ par $3$ .

$\sqrt{\frac{7882 + 11823}{576}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.14.3

Additionnez $7882$ et $11823$ .

$\sqrt{\frac{19705}{576}} \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.15

Réécrivez $\sqrt{\frac{19705}{576}}$ comme $\frac{\sqrt{19705}}{\sqrt{576}}$ .

$\frac{\sqrt{19705}}{\sqrt{576}} \cdot \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.16

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.16.1

Réécrivez $576$ comme $24^{2}$ .

$\frac{\sqrt{19705}}{\sqrt{24^{2}}} \cdot \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.16.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{19705}}{24} \cdot \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.17

Simplifiez les termes.

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Étape 8.3.17.1

Annulez le facteur commun de $24$ .

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Étape 8.3.17.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{19705}}{24} \cdot \frac{24}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.17.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{19705} \frac{1}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.17.2

Associez $\sqrt{19705}$ et $\frac{1}{\sqrt{7882}}$ .

$\frac{\sqrt{19705}}{\sqrt{7882}}$

Étape 8.3.18

Associez $\sqrt{19705}$ et $\sqrt{7882}$ en un radical unique.

$\sqrt{\frac{19705}{7882}}$

Étape 8.3.19

Annulez le facteur commun à $19705$ et $7882$ .

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Étape 8.3.19.1

Factorisez $3941$ à partir de $19705$ .

$\sqrt{\frac{3941 (5)}{7882}}$

Étape 8.3.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.19.2.1

Factorisez $3941$ à partir de $7882$ .

$\sqrt{\frac{3941 \cdot 5}{3941 \cdot 2}}$

Étape 8.3.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{3941 \cdot 5}{3941 \cdot 2}}$

Étape 8.3.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{5}{2}}$

Étape 8.3.20

Réécrivez $\sqrt{\frac{5}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

Étape 8.3.21

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 8.3.22

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.22.1

Multipliez $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 8.3.22.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 8.3.22.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 8.3.22.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.22.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 8.3.22.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.3.22.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.22.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.22.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.22.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.22.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.22.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 8.3.22.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

Étape 8.3.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.23.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

Étape 8.3.23.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{11823}}{24^{2}}}{\sqrt{19705}}}{24}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\frac{\sqrt{11823}}{24^{2}}}{\sqrt{19705}} \cdot \frac{1}{24}$

Étape 9.3.2

Associez.

$\frac{\frac{\sqrt{11823}}{24^{2}} \cdot 1}{\sqrt{19705} \cdot 24}$

Étape 9.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.3.1

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{11823}}{576} \cdot 1}{\sqrt{19705} \cdot 24}$

Étape 9.3.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{11823}}{576}$ par $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{11823}}{576}}{\sqrt{19705} \cdot 24}$

Étape 9.3.3.3

Déplacez $24$ à gauche de $\sqrt{19705}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{11823}}{576}}{24 \sqrt{19705}}$

Étape 9.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{11823}}{576} \cdot \frac{1}{24 \sqrt{19705}}$

Étape 9.3.5

Multipliez $\frac{1}{24 \sqrt{19705}}$ par $\frac{\sqrt{19705}}{\sqrt{19705}}$ .

$\frac{\sqrt{11823}}{576} (\frac{1}{24 \sqrt{19705}} \cdot \frac{\sqrt{19705}}{\sqrt{19705}})$

Étape 9.3.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.6.1

Multipliez $\frac{1}{24 \sqrt{19705}}$ par $\frac{\sqrt{19705}}{\sqrt{19705}}$ .

$\frac{\sqrt{11823}}{576} \cdot \frac{\sqrt{19705}}{24 \sqrt{19705} \sqrt{19705}}$

Étape 9.3.6.2

Déplacez $\sqrt{19705}$ .

$\frac{\sqrt{11823}}{576} \cdot \frac{\sqrt{19705}}{24 (\sqrt{19705} \sqrt{19705})}$

Étape 9.3.6.3

Élevez $\sqrt{19705}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{11823}}{576} \cdot \frac{\sqrt{19705}}{24 ({\sqrt{19705}}^{1} \sqrt{19705})}$

Étape 9.3.6.4

Élevez $\sqrt{19705}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{11823}}{576} \cdot \frac{\sqrt{19705}}{24 ({\sqrt{19705}}^{1} {\sqrt{19705}}^{1})}$

Étape 9.3.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{11823}}{576} \cdot \frac{\sqrt{19705}}{24 {\sqrt{19705}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{11823}}{576} \cdot \frac{\sqrt{19705}}{24 {\sqrt{19705}}^{2}}$

Étape 9.3.6.7

Réécrivez ${\sqrt{19705}}^{2}$ comme $19705$ .

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Étape 9.3.6.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{19705}$ comme $19705^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{11823}}{576} \cdot \frac{\sqrt{19705}}{24 {(19705^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.6.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{11823}}{576} \cdot \frac{\sqrt{19705}}{24 \cdot 19705^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.6.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{11823}}{576} \cdot \frac{\sqrt{19705}}{24 \cdot 19705^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.6.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.6.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{11823}}{576} \cdot \frac{\sqrt{19705}}{24 \cdot 19705^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.6.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{11823}}{576} \cdot \frac{\sqrt{19705}}{24 \cdot 19705^{1}}$

Étape 9.3.6.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{11823}}{576} \cdot \frac{\sqrt{19705}}{24 \cdot 19705}$

Étape 9.3.7

Multipliez $24$ par $19705$ .

$\frac{\sqrt{11823}}{576} \cdot \frac{\sqrt{19705}}{472920}$

Étape 9.3.8

Multipliez $\frac{\sqrt{11823}}{576} \cdot \frac{\sqrt{19705}}{472920}$ .

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Étape 9.3.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{11823}}{576}$ par $\frac{\sqrt{19705}}{472920}$ .

$\frac{\sqrt{11823} \sqrt{19705}}{576 \cdot 472920}$

Étape 9.3.8.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{11823 \cdot 19705}}{576 \cdot 472920}$

Étape 9.3.8.3

Multipliez $11823$ par $19705$ .

$\frac{\sqrt{232972215}}{576 \cdot 472920}$

Étape 9.3.8.4

Multipliez $576$ par $472920$ .

$\frac{\sqrt{232972215}}{272401920}$

Étape 9.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.9.1

Réécrivez $232972215$ comme $3941^{2} \cdot 15$ .

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Étape 9.3.9.1.1

Factorisez $15531481$ à partir de $232972215$ .

$\frac{\sqrt{15531481 (15)}}{272401920}$

Étape 9.3.9.1.2

Réécrivez $15531481$ comme $3941^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3941^{2} \cdot 15}}{272401920}$

Étape 9.3.9.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3941 \sqrt{15}}{272401920}$

Étape 9.3.10

Annulez le facteur commun à $3941$ et $272401920$ .

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Étape 9.3.10.1

Factorisez $3941$ à partir de $3941 \sqrt{15}$ .

$\frac{3941 (\sqrt{15})}{272401920}$

Étape 9.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.10.2.1

Factorisez $3941$ à partir de $272401920$ .

$\frac{3941 \sqrt{15}}{3941 \cdot 69120}$

Étape 9.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3941 \sqrt{15}}{3941 \cdot 69120}$

Étape 9.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{15}}{69120}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot (x - (\frac{2}{3})) + \frac{3}{8}$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $\frac{2}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot (x - \frac{2}{3}) + \frac{3}{8}$

Étape 11.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot (x - (\frac{2}{3})) + \frac{3}{8}$

Étape 11.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\sqrt{6}}{2} x + \frac{\sqrt{6}}{2} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{8}$

Étape 11.3.2

Associez $\frac{\sqrt{6}}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{\sqrt{6} x}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{8}$

Étape 11.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$y = \frac{\sqrt{6} x}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{- 2}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 11.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{\sqrt{6} x}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 11.3.3.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt{6} x}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 11.3.3.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt{6} x}{2} + \sqrt{6} \frac{- 1}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 11.3.4

Associez $\sqrt{6}$ et $\frac{- 1}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{6} x}{2} + \frac{\sqrt{6} \cdot - 1}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 11.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.5.1.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sqrt{6}$ .

$y = \frac{\sqrt{6} x}{2} + \frac{- 1 \cdot \sqrt{6}}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 11.3.5.1.2

Réécrivez $- 1 \sqrt{6}$ comme $- \sqrt{6}$ .

$y = \frac{\sqrt{6} x}{2} + \frac{- \sqrt{6}}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 11.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\sqrt{6} x}{2} - \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 12

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 12.1

Multipliez $- 1$ par $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot (x - \frac{2}{3}) + \frac{3}{8}$

Étape 12.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot (x - (\frac{2}{3})) + \frac{3}{8}$

Étape 12.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{\sqrt{6}}{2} x - \frac{\sqrt{6}}{2} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{8}$

Étape 12.3.2

Associez $x$ et $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{8}$

Étape 12.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \sqrt{6}}{2} + \frac{- \sqrt{6}}{2} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{8}$

Étape 12.3.3.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \sqrt{6}}{2} + \frac{- \sqrt{6}}{2} \cdot \frac{- 2}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 12.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = - \frac{x \sqrt{6}}{2} + \frac{- \sqrt{6}}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 12.3.3.4

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \sqrt{6}}{2} + \frac{- \sqrt{6}}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 12.3.3.5

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \sqrt{6}}{2} - \sqrt{6} \frac{- 1}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 12.3.4

Associez $\frac{- 1}{3}$ et $\sqrt{6}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{6}}{2} - \frac{- \sqrt{6}}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 12.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.3.5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x \sqrt{6}}{2} - - \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 12.3.5.2

Multipliez $- - \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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Étape 12.3.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{6}}{2} + 1 \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 12.3.5.2.2

Multipliez $\frac{\sqrt{6}}{3}$ par $1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{\sqrt{6} x}{2} - \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{3}{8}, y = - \frac{x \sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(\frac{2}{3}, \frac{3}{8})$

Sommets : $(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7882}}{24}, \frac{3}{8}), (\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{7882}}{24}, \frac{3}{8})$

Foyers : $(\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{19705}}{24}, \frac{3}{8}), (\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{19705}}{24}, \frac{3}{8})$

Excentricité : $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Paramètre focal : $\frac{\sqrt{15}}{69120}$

Asymptotes : $y = \frac{\sqrt{6} x}{2} - \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{3}{8}$ , $y = - \frac{x \sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{3}{8}$

Étape 15