Trigonométrie Exemples

$\cos (\arctan (x^{2}))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, x^{2})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (x^{2})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, x^{2})$ . Ainsi, $\cos (\arctan (x^{2}))$ est $\frac{1}{\sqrt{1 + {(x^{2})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + {(x^{2})}^{2}}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2 \cdot 2}}}$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{4}}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{4}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{\sqrt{1 + x^{4}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{4}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{\sqrt{1 + x^{4}}}$

Étape 4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{4}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{\sqrt{1 + x^{4}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{\sqrt{1 + x^{4}} \sqrt{1 + x^{4}}}$

Étape 4.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{4}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{{\sqrt{1 + x^{4}}}^{1} \sqrt{1 + x^{4}}}$

Étape 4.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{4}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{{\sqrt{1 + x^{4}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{4}}}^{1}}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{{\sqrt{1 + x^{4}}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{{\sqrt{1 + x^{4}}}^{2}}$

Étape 4.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{4}}}^{2}$ comme $1 + x^{4}$ .

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Étape 4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{4}}$ comme ${(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{{({(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{{(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{{(1 + x^{4})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{{(1 + x^{4})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{{(1 + x^{4})}^{1}}$

Étape 4.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{1 + x^{4}}}{1 + x^{4}}$