Trigonométrie Exemples

$\log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $y = \log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 1.1

Définissez l’argument dans $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1} > 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Réalisez le produit en croix.

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Étape 1.2.1.1

Réalisez un produit en croix en définissant le produit du numérateur du côté droit et du dénominateur du côté gauche égal au produit du numérateur du côté gauche et du dénominateur du côté droit.

$0 \cdot (x - 1) > 81 \sqrt{x - 1}$

Étape 1.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $x - 1$ .

$0 > 81 \sqrt{x - 1}$

Étape 1.2.2

Réécrivez de sorte que $81 \sqrt{x - 1}$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$81 \sqrt{x - 1} < 0$

Étape 1.2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${(81 \sqrt{x - 1})}^{2} < 0^{2}$

Étape 1.2.4

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 1.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez ${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$81^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Élevez $81$ à la puissance $2$ .

$6561 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.4.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Étape 1.2.4.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$6561 {(x - 1)}^{1} < 0^{2}$

Étape 1.2.4.2.1.4

Simplifiez

$6561 (x - 1) < 0^{2}$

Étape 1.2.4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$6561 x + 6561 \cdot - 1 < 0^{2}$

Étape 1.2.4.2.1.6

Multipliez $6561$ par $- 1$ .

$6561 x - 6561 < 0^{2}$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$6561 x - 6561 < 0$

Étape 1.2.5

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Ajoutez $6561$ aux deux côtés de l’inégalité.

$6561 x < 6561$

Étape 1.2.5.2

Divisez chaque terme dans $6561 x < 6561$ par $6561$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $6561 x < 6561$ par $6561$ .

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

Étape 1.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6561$ .

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Étape 1.2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

Étape 1.2.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{6561}{6561}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.3.1

Divisez $6561$ par $6561$ .

$x < 1$

Étape 1.2.6

Déterminez le domaine de $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x - 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - 1 \geq 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 1$

Étape 1.2.6.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.6.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.6.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(1, \infty)$

Étape 1.2.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x > 1$

Étape 1.3

Définissez le radicande dans $\sqrt{x - 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - 1 \geq 0$

Étape 1.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 1$

Étape 1.5

Définissez le dénominateur dans $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x - 1 = 0$

Étape 1.6

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 1}$

Notation d’intervalle :

$(1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 1}$

Étape 2

Pour déterminer le point final de l’expression radicale, remplacez la valeur $x$ $1$ , qui est la valeur la plus basse dans le domaine, dans $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{(1) - 1})$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{0})$

Étape 2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

$f (1) = Undefined$

Indéfini

Étape 3

Le point final de l’expression du radical est $(1, Undefined)$ .

$(1, Undefined)$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du point final de l’expression radicale.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ . Dans ce cas, le point est $(2, 4)$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(2) - 1}}{(2) - 1})$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{1}}{2 - 1})$

Étape 4.1.2.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{2 - 1})$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{1})$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $81$ par $1$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81}{1})$

Étape 4.1.2.3

La base logarithmique $3$ de $\frac{81}{1}$ est $4$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Réécrivez comme une équation.

$\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$

Étape 4.1.2.3.2

Réécrivez $\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{81}{1}$

Étape 4.1.2.3.3

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{x} = 3^{4}$

Étape 4.1.2.3.4

Les bases étant les mêmes, les deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 4$

Étape 4.1.2.3.5

La variable $x$ est égale à $4$ .

$f (2) = 4$

Étape 4.1.2.4

La réponse finale est $4$ .

$y = 4$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $3$ dans $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ . Dans ce cas, le point est $(3, \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2}))$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(3) - 1}}{(3) - 1})$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{3 - 1})$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

Étape 4.2.2.3

La réponse finale est $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$ .

$y = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

Étape 4.3

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(1, Undefined), (2, 4), (3, 3.68)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & Undefined \\ 2 & 4 \\ 3 & 3.68 \end{array}$

Étape 5