Trigonométrie Exemples

$\log_{2} (2 x^{2} + 24 x + 72)$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez l’argument du logarithme égal à zéro.

$2 x^{2} + 24 x + 72 = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 24 x + 72$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) + 24 x + 72 = 0$

Étape 1.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $24 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (12 x) + 72 = 0$

Étape 1.2.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $72$ .

$2 x^{2} + 2 (12 x) + 2 \cdot 36 = 0$

Étape 1.2.1.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} + 2 (12 x)$ .

$2 (x^{2} + 12 x) + 2 \cdot 36 = 0$

Étape 1.2.1.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} + 12 x) + 2 \cdot 36$ .

$2 (x^{2} + 12 x + 36) = 0$

Étape 1.2.1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.2.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$2 (x^{2} + 12 x + 6^{2}) = 0$

Étape 1.2.1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Étape 1.2.1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$2 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Étape 1.2.1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 6$ .

$2 {(x + 6)}^{2} = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $2 {(x + 6)}^{2} = 0$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 {(x + 6)}^{2} = 0$ par $2$ .

$\frac{2 {(x + 6)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {(x + 6)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez ${(x + 6)}^{2}$ par $1$ .

${(x + 6)}^{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Étape 1.2.3

Définissez le $x + 6$ égal à $0$ .

$x + 6 = 0$

Étape 1.2.4

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 6$

Étape 1.3

L’asymptote verticale se produit sur $x = - 6$ .

Asymptote verticale : $x = - 6$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = \log_{2} (2 {(- 5)}^{2} + 24 (- 5) + 72)$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2 \cdot 25 + 24 (- 5) + 72)$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $25$ .

$f (- 5) = \log_{2} (50 + 24 (- 5) + 72)$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $24$ par $- 5$ .

$f (- 5) = \log_{2} (50 - 120 + 72)$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Soustrayez $120$ de $50$ .

$f (- 5) = \log_{2} (- 70 + 72)$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $- 70$ et $72$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2)$

Étape 2.2.3

La base logarithmique $2$ de $2$ est $1$ .

$f (- 5) = 1$

Étape 2.2.4

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 2.3

Convertissez $1$ en décimale.

$y = 1$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = \log_{2} (2 {(- 4)}^{2} + 24 (- 4) + 72)$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f (- 4) = \log_{2} (2 \cdot 16 + 24 (- 4) + 72)$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$f (- 4) = \log_{2} (32 + 24 (- 4) + 72)$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $24$ par $- 4$ .

$f (- 4) = \log_{2} (32 - 96 + 72)$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Soustrayez $96$ de $32$ .

$f (- 4) = \log_{2} (- 64 + 72)$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $- 64$ et $72$ .

$f (- 4) = \log_{2} (8)$

Étape 3.2.3

La base logarithmique $2$ de $8$ est $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Réécrivez comme une équation.

$\log_{2} (8) = x$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez $\log_{2} (8) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 8$

Étape 3.2.3.3

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{x} = 2^{3}$

Étape 3.2.3.4

Les bases étant les mêmes, les deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 3$

Étape 3.2.3.5

La variable $x$ est égale à $3$ .

$f (- 4) = 3$

Étape 3.2.4

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 3.3

Convertissez $3$ en décimale.

$y = 3$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \log_{2} (2 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) + 72)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (2 \cdot 4 + 24 (- 2) + 72)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f (- 2) = \log_{2} (8 + 24 (- 2) + 72)$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $24$ par $- 2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (8 - 48 + 72)$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Soustrayez $48$ de $8$ .

$f (- 2) = \log_{2} (- 40 + 72)$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 40$ et $72$ .

$f (- 2) = \log_{2} (32)$

Étape 4.2.3

La base logarithmique $2$ de $32$ est $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Réécrivez comme une équation.

$\log_{2} (32) = x$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez $\log_{2} (32) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 32$

Étape 4.2.3.3

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$2^{x} = 2^{5}$

Étape 4.2.3.4

Les bases étant les mêmes, les deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 5$

Étape 4.2.3.5

La variable $x$ est égale à $5$ .

$f (- 2) = 5$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $5$ .

$5$

Étape 4.3

Convertissez $5$ en décimale.

$y = 5$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = - 6$ et les points $(- 5, 1), (- 4, 3), (- 2, 5)$ .

Asymptote verticale : $x = - 6$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 1 \\ - 4 & 3 \\ - 2 & 5 \end{array}$

Étape 6