Trigonométrie Exemples

$\frac{1}{2} \cdot \cos (x - \frac{x}{π})$

Étape 1

Utilisez la forme $a \cos (b x - c) + d$ afin de déterminer les variables pour déterminer l’amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 1 - \frac{1}{π}$

$c = 0$

$d = 0$

Étape 2

Déterminez l’amplitude $| a |$ .

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Étape 3

Déterminez la période de $\frac{\cos (x - \frac{x}{π})}{2}$ .

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Étape 3.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2

Remplacez $b$ par $1 - \frac{1}{π}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 - \frac{1}{π} |}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

$1 - \frac{1}{π}$ est d’environ $0.68169011$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{1 - \frac{1}{π}}$

Étape 3.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2 π}{\frac{π}{π} - \frac{1}{π}}$

Étape 3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π}{\frac{π - 1}{π}}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{π}{π - 1}$

Étape 3.5

Multipliez $2 π \frac{π}{π - 1}$ .

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Étape 3.5.1

Associez $\frac{π}{π - 1}$ et $2$ .

$\frac{π \cdot 2}{π - 1} π$

Étape 3.5.2

Associez $\frac{π \cdot 2}{π - 1}$ et $π$ .

$\frac{π \cdot 2 π}{π - 1}$

Étape 3.5.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (π^{1} π)}{π - 1}$

Étape 3.5.4

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (π^{1} π^{1})}{π - 1}$

Étape 3.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 π^{1 + 1}}{π - 1}$

Étape 3.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 π^{2}}{π - 1}$

Étape 4

Déterminez le déphasage en utilisant la formule $\frac{c}{b}$ .

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Étape 4.1

Le déphasage de la fonction peut être calculé à partir de $\frac{c}{b}$ .

Déphasage : $\frac{c}{b}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $c$ et $b$ dans l’équation pour le déphasage.

Déphasage : $\frac{0}{1 - \frac{1}{π}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

Déphasage : $\frac{0}{\frac{π}{π} - \frac{1}{π}}$

Étape 4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Déphasage : $\frac{0}{\frac{π - 1}{π}}$

Étape 4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

Déphasage : $0 (\frac{π}{π - 1})$

Étape 4.5

Multipliez $0$ par $\frac{π}{π - 1}$ .

Déphasage : $0$

Étape 5

Indiquez les propriétés de la fonction trigonométrique.

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Période : $\frac{2 π^{2}}{π - 1}$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

Étape 6

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

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Étape 6.1

Déterminez le point sur $x = 0$ .

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Étape 6.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{\cos ((0) - \frac{0}{π})}{2}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1.1

Divisez $0$ par $π$ .

$f (0) = \frac{\cos (0 - 0)}{2}$

Étape 6.1.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = \frac{\cos (0 + 0)}{2}$

Étape 6.1.2.1.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = \frac{\cos (0)}{2}$

Étape 6.1.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = \frac{1}{2}$

Étape 6.1.2.2

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6.2

Déterminez le point sur $x = \frac{π^{2}}{2 (π - 1)}$ .

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Étape 6.2.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}$ dans l’expression.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos ((\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) - \frac{\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}}{π})}{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Associez.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π^{2} \cdot 1}{2 (π - 1) π})}{2}$

Étape 6.2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun à $π^{2}$ et $π$ .

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Étape 6.2.2.1.1.3.1

Factorisez $π$ à partir de $π^{2} \cdot 1$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (π \cdot 1)}{2 (π - 1) π})}{2}$

Étape 6.2.2.1.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1.1.3.2.1

Factorisez $π$ à partir de $2 (π - 1) π$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (π \cdot 1)}{π (2 (π - 1))})}{2}$

Étape 6.2.2.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (π \cdot 1)}{π (2 (π - 1))})}{2}$

Étape 6.2.2.1.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π \cdot 1}{2 (π - 1)})}{2}$

Étape 6.2.2.1.1.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π}{2 (π - 1)})}{2}$

Étape 6.2.2.1.2

Évaluez $\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π}{2 (π - 1)})$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{0}{2}$

Étape 6.2.2.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = 0$

Étape 6.2.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.3

Déterminez le point sur $x = \frac{π^{2}}{π - 1}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π^{2}}{π - 1}$ dans l’expression.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos ((\frac{π^{2}}{π - 1}) - \frac{\frac{π^{2}}{π - 1}}{π})}{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{π - 1} - (\frac{π^{2}}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π^{2}$ .

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{π - 1} - (\frac{π π}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{π - 1} - (\frac{π π}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{π - 1} - \frac{π}{π - 1})}{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2} - π}{π - 1})}{2}$

Étape 6.3.2.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{- \cos (0)}{2}$

Étape 6.3.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Étape 6.3.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2.3

La réponse finale est $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 6.4

Déterminez le point sur $x = \frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}$ dans l’expression.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos ((\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) - \frac{\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}}{π})}{2}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Étape 6.4.2.1.1.2

Associez.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{3 π^{2} \cdot 1}{2 (π - 1) π})}{2}$

Étape 6.4.2.1.1.3

Annulez le facteur commun à $π^{2}$ et $π$ .

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Étape 6.4.2.1.1.3.1

Factorisez $π$ à partir de $3 π^{2} \cdot 1$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (3 π \cdot 1)}{2 (π - 1) π})}{2}$

Étape 6.4.2.1.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.1.1.3.2.1

Factorisez $π$ à partir de $2 (π - 1) π$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (3 π \cdot 1)}{π (2 (π - 1))})}{2}$

Étape 6.4.2.1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (3 π \cdot 1)}{π (2 (π - 1))})}{2}$

Étape 6.4.2.1.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{3 π \cdot 1}{2 (π - 1)})}{2}$

Étape 6.4.2.1.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{3 π}{2 (π - 1)})}{2}$

Étape 6.4.2.1.2

Évaluez $\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{3 π}{2 (π - 1)})$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{0}{2}$

Étape 6.4.2.2

Divisez $0$ par $2$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = 0$

Étape 6.4.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 6.5

Déterminez le point sur $x = \frac{2 π^{2}}{π - 1}$ .

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Étape 6.5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{2 π^{2}}{π - 1}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos ((\frac{2 π^{2}}{π - 1}) - \frac{\frac{2 π^{2}}{π - 1}}{π})}{2}$

Étape 6.5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.5.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.2.1.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2}}{π - 1} - (\frac{2 π^{2}}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Étape 6.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 6.5.2.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π^{2}$ .

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2}}{π - 1} - (\frac{π (2 π)}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Étape 6.5.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2}}{π - 1} - (\frac{π (2 π)}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Étape 6.5.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2}}{π - 1} - \frac{2 π}{π - 1})}{2}$

Étape 6.5.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2} - 2 π}{π - 1})}{2}$

Étape 6.5.2.1.3

Évaluez $\cos (\frac{2 π^{2} - 2 π}{π - 1})$ .

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{1}{2}$

Étape 6.5.2.2

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6.6

Indiquez les points dans une table.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{π^{2}}{2 (π - 1)} & - 0 \\ \frac{π^{2}}{π - 1} & - \frac{1}{2} \\ \frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} & - 0 \\ \frac{2 π^{2}}{π - 1} & \frac{1}{2} \end{array}$

Étape 7

La fonction trigonométrique peut être représentée graphiquement en utilisant l’amplitude, la période, le déphasage, le décalage vertical et les points.

Amplitude : $\frac{1}{2}$

Période : $\frac{2 π^{2}}{π - 1}$

Déphasage : Aucune

Décalage vertical : Aucune

Étape 8