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Trigonométrie Exemples
Étape 1
Déterminez où l’expression est indéfinie.
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 2
Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.
Aucune asymptote verticale
Étape 3
Étape 3.1
Appliquez la Règle de l’Hôpital.
Étape 3.1.1
Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 3.1.1.1
Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.
Étape 3.1.1.2
Évaluez la limite du numérateur.
Étape 3.1.1.2.1
Évaluez la limite.
Étape 3.1.1.2.1.1
Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque approche de .
Étape 3.1.1.2.1.2
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 3.1.1.2.2
Comme la fonction approche de , la constante positive fois la fraction approche également de .
Étape 3.1.1.2.2.1
Étudiez la limite avec le multiple constant retiré.
Étape 3.1.1.2.2.2
Comme l’exposant approche de , la quantité approche de .
Étape 3.1.1.2.3
L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.
Étape 3.1.1.3
Comme l’exposant approche de , la quantité approche de .
Étape 3.1.1.4
L’infini divisé l’infini est indéfini.
Indéfini
Étape 3.1.2
Comme est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.
Étape 3.1.3
Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.
Étape 3.1.3.1
Différenciez le numérateur et le dénominateur.
Étape 3.1.3.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.1.3.3
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.1.3.4
Évaluez .
Étape 3.1.3.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.1.3.4.2
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.1.3.4.2.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.1.3.4.2.2
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est où =.
Étape 3.1.3.4.2.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.1.3.4.3
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.1.3.4.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.1.3.4.5
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.1.3.4.6
Additionnez et .
Étape 3.1.3.4.7
Multipliez par .
Étape 3.1.3.5
Additionnez et .
Étape 3.1.3.6
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.1.3.6.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.1.3.6.2
Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que est où =.
Étape 3.1.3.6.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.1.3.7
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.1.3.8
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.1.3.9
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.1.3.10
Additionnez et .
Étape 3.1.3.11
Multipliez par .
Étape 3.1.4
Réduisez.
Étape 3.1.4.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.1.4.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.1.4.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 3.1.4.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.1.4.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.1.4.2.2
Divisez par .
Étape 3.2
Évaluez la limite de qui est constante lorsque approche de .
Étape 4
Indiquez les asymptotes horizontales :
Étape 5
Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.
Aucune asymptote oblique
Étape 6
C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.
Aucune asymptote verticale
Asymptotes horizontales :
Aucune asymptote oblique
Étape 7