Trigonométrie Exemples

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x^{2} - 16}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{(x + 4) (x - 4)}$ est indéfinie.

$x = - 4, x = 4$

Étape 2

Comme $\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{(x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 4$ depuis la gauche et $\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{(x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 4$ depuis la droite, $x = - 4$ est une asymptote verticale.

$x = - 4$

Étape 3

Comme $\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{(x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $4$ depuis la gauche et $\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{(x + 4) (x - 4)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $4$ depuis la droite, $x = 4$ est une asymptote verticale.

$x = 4$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = - 4, 4$

Étape 5

Étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 6

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Étape 7

Comme $n > m$ , il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 8

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

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Étape 8.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x^{2} - 4^{2}}$

Étape 8.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{(x + 4) (x - 4)}$

Étape 8.2

Développez $(x + 4) (x - 4)$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x (x - 4) + 4 (x - 4)}$

Étape 8.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)}$

Étape 8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4}$

Étape 8.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 4$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4}$

Étape 8.2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4}$

Étape 8.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4}$

Étape 8.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x^{1 + 1} - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4}$

Étape 8.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4}$

Étape 8.2.9

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x^{2} - 4 x + 4 x - 16}$

Étape 8.2.10

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x^{2} + 0 - 16}$

Étape 8.2.11

Soustrayez $16$ de $0$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}{x^{2} - 16}$

Étape 8.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$16$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

Étape 8.4

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$16$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

Étape 8.5

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$16$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$16 x$

Étape 8.6

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 0 - 16 x$

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$16$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$

Étape 8.7

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$16$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$16 x$

$2 x^{2}$

$17 x$

Étape 8.8

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$16$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$17 x$	-	$1$

Étape 8.9

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x^{2}$ .

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$16$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$17 x$	-	$1$

Étape 8.10

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$16$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$17 x$	-	$1$
							-	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$32$

Étape 8.11

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} + 0 + 32$

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$16$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$17 x$	-	$1$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$32$

Étape 8.12

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$16$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$16 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$17 x$	-	$1$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$32$
									+	$17 x$	-	$33$

Étape 8.13

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$x - 2 + \frac{17 x - 33}{x^{2} - 16}$

Étape 8.14

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = x - 2$

Étape 9

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 4, 4$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = x - 2$

Étape 10