Trigonométrie Exemples

${(x - 3)}^{2} - {(y - 4)}^{2} = 4$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme par $4$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 4)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 4)}^{2}}{4} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 2$

$b = 2$

$k = 4$

$h = 3$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(3, 4)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + {(2)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{4 + 4}$

Étape 5.3.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$\sqrt{8}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Étape 5.3.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(5, 4)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(1, 4)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(5, 4), (1, 4)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3 + 2 \sqrt{2}, 4)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(3 - 2 \sqrt{2}, 4)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(3 + 2 \sqrt{2}, 4), (3 - 2 \sqrt{2}, 4)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2)}^{2}}}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2}}}{2}$

Étape 8.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4}}{2}$

Étape 8.3.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{\sqrt{8}}{2}$

Étape 8.3.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2}$

Étape 8.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2}$

Étape 8.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 8.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 8.3.2.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2}$

Étape 9

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm 1 \cdot (x - (3)) + 4$

Étape 10

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 10.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1 \cdot (x - (3)) + 4$

Étape 10.2

Simplifiez $1 \cdot (x - (3)) + 4$ .

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $x - (3)$ par $1$ .

$y = x - (3) + 4$

Étape 10.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = x - 3 + 4$

Étape 10.2.2

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$y = x + 1$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 1 \cdot (x - (3)) + 4$

Étape 11.2

Simplifiez $- 1 \cdot (x - (3)) + 4$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = - 1 \cdot (x - 3) + 4$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 3 + 4$

Étape 11.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 3 + 4$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y = - x + 3 + 4$

Étape 11.2.2

Additionnez $3$ et $4$ .

$y = - x + 7$

Étape 12

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = x + 1, y = - x + 7$

Étape 13

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(3, 4)$

Sommets : $(5, 4), (1, 4)$

Foyers : $(3 + 2 \sqrt{2}, 4), (3 - 2 \sqrt{2}, 4)$

Excentricité : $\sqrt{2}$

Paramètre focal : $\sqrt{2}$

Asymptotes : $y = x + 1$ , $y = - x + 7$

Étape 14