Trigonométrie Exemples

${(y - 7)}^{2} = 25 - {(x - 3)}^{2}$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Ajoutez ${(x - 3)}^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

${(y - 7)}^{2} + {(x - 3)}^{2} = 25$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Réécrivez ${(y - 7)}^{2}$ comme $(y - 7) (y - 7)$ .

$(y - 7) (y - 7) + {(x - 3)}^{2} = 25$

Étape 1.2.2

Développez $(y - 7) (y - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (y - 7) - 7 (y - 7) + {(x - 3)}^{2} = 25$

Étape 1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 (y - 7) + {(x - 3)}^{2} = 25$

Étape 1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7 + {(x - 3)}^{2} = 25$

Étape 1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7 + {(x - 3)}^{2} = 25$

Étape 1.2.3.1.2

Déplacez $- 7$ à gauche de $y$ .

$y^{2} - 7 \cdot y - 7 y - 7 \cdot - 7 + {(x - 3)}^{2} = 25$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $- 7$ par $- 7$ .

$y^{2} - 7 y - 7 y + 49 + {(x - 3)}^{2} = 25$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $7 y$ de $- 7 y$ .

$y^{2} - 14 y + 49 + {(x - 3)}^{2} = 25$

Étape 1.2.4

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$y^{2} - 14 y + 49 + (x - 3) (x - 3) = 25$

Étape 1.2.5

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} - 14 y + 49 + x (x - 3) - 3 (x - 3) = 25$

Étape 1.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} - 14 y + 49 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) = 25$

Étape 1.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} - 14 y + 49 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 = 25$

Étape 1.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y^{2} - 14 y + 49 + x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 = 25$

Étape 1.2.6.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$y^{2} - 14 y + 49 + x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 = 25$

Étape 1.2.6.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$y^{2} - 14 y + 49 + x^{2} - 3 x - 3 x + 9 = 25$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$y^{2} - 14 y + 49 + x^{2} - 6 x + 9 = 25$

Étape 1.3

Additionnez $49$ et $9$ .

$y^{2} - 14 y + x^{2} - 6 x + 58 = 25$

Étape 1.4

Déplacez $- 14 y$ .

$y^{2} + x^{2} - 6 x - 14 y + 58 = 25$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $x^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 14 y + 58 = 25$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas de variable du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $58$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 14 y = 25 - 58$

Étape 2.2

Soustrayez $58$ de $25$ .

$x^{2} + y^{2} - 6 x - 14 y = - 33$

Étape 3

Complétez le carré pour $x^{2} - 6 x$ .

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 3}{1}$

Étape 3.3.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$d = - 3$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Étape 3.4.2.1.3

Divisez $36$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Étape 3.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$e = 0 - 9$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 3)}^{2} - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9$

Étape 4

Remplacez $x^{2} - 6 x$ par ${(x - 3)}^{2} - 9$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 6 x - 14 y = - 33$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 + y^{2} - 14 y = - 33$

Étape 5

Déplacez $- 9$ du côté droit de l’équation en ajoutant $9$ des deux côtés.

${(x - 3)}^{2} + y^{2} - 14 y = - 33 + 9$

Étape 6

Complétez le carré pour $y^{2} - 14 y$ .

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Étape 6.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 14$

$c = 0$

Étape 6.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 14}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun à $- 14$ et $2$ .

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 14$ .

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)}$

Étape 6.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 7}{1}$

Étape 6.3.2.2.4

Divisez $- 7$ par $1$ .

$d = - 7$

Étape 6.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 14)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1.1

Élevez $- 14$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{196}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{196}{4}$

Étape 6.4.2.1.3

Divisez $196$ par $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 49$

Étape 6.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$e = 0 - 49$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $49$ de $0$ .

$e = - 49$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - 7)}^{2} - 49$ .

${(y - 7)}^{2} - 49$

Étape 7

Remplacez $y^{2} - 14 y$ par ${(y - 7)}^{2} - 49$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 6 x - 14 y = - 33$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y - 7)}^{2} - 49 = - 33 + 9$

Étape 8

Déplacez $- 49$ du côté droit de l’équation en ajoutant $49$ des deux côtés.

${(x - 3)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = - 33 + 9 + 49$

Étape 9

Simplifiez $- 33 + 9 + 49$ .

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Étape 9.1

Additionnez $- 33$ et $9$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = - 24 + 49$

Étape 9.2

Additionnez $- 24$ et $49$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = 25$

Étape 10

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 11

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = 5$

$h = 3$

$k = 7$

Étape 12

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(3, 7)$

Étape 13

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(3, 7)$

Rayon : $5$

Étape 14