Trigonométrie Exemples

$\frac{1.6 x - \sqrt{x^{2} + 49}}{\sqrt{x^{2} + 49}}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{0.2 (8 \sqrt{x^{2} + 49} x - 5 x^{2} - 245)}{x^{2} + 49}$ est indéfinie.

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 2

Les asymptotes verticales se trouvent dans des zones de discontinuité infinie.

Aucune asymptote verticale

Étape 3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{0.2 (8 \sqrt{x^{2} + 49} x - 5 x^{2} - 245)}{x^{2} + 49}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 3.1

Placez le terme $0.2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$0.2 lim_{x \to \infty} \frac{8 \sqrt{x^{2} + 49} x - 5 x^{2} - 245}{x^{2} + 49}$

Étape 3.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$0.2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8 \sqrt{x^{2} + 49} x}{x^{2}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 245}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $8 \sqrt{x^{2} + 49} x$ .

$0.2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x^{2}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 245}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$0.2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x \cdot x} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 245}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$0.2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x \cdot x} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 245}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$0.2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 245}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$0.2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 245}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.3.1.2.2

Divisez $- 5$ par $1$ .

$0.2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x} - 5 + \frac{- 245}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$0.2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x} - 5 - \frac{245}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

$0.2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x} - 5 - \frac{245}{x^{2}}}{1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$0.2 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x} - 5 - \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$0.2 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x} - lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.3.5

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$0.2 \frac{8 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 49}}{x} - lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.4

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$0.2 \frac{8 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}} - lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.5

Évaluez la limite.

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$0.2 \frac{8 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}}{1} - lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$0.2 \frac{8 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}}{1} - lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$0.2 \frac{8 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{49}{x^{2}}}}{1} - lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.5.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$0.2 \frac{8 \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{49}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} - lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.5.4

Placez la limite sous le radical.

$0.2 \frac{8 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} - lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.5.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$0.2 \frac{8 \frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{49}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} - lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.5.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$0.2 \frac{8 \frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{49}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} - lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.5.7

Placez le terme $49$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$0.2 \frac{8 \frac{\sqrt{1 + 49 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1} - lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$0.2 \frac{8 \frac{\sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1} - lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.7

Évaluez la limite.

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Étape 3.7.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$0.2 \frac{8 \frac{\sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{1} - lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.7.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$0.2 \frac{8 \frac{\sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{1} - 1 \cdot 5 - lim_{x \to \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.7.3

Placez le terme $245$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$0.2 \frac{8 \frac{\sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{1} - 1 \cdot 5 - 245 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$0.2 \frac{8 \frac{\sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{1} - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.9

Évaluez la limite.

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Étape 3.9.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$0.2 \frac{8 \frac{\sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{1} - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.9.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$0.2 \frac{8 \frac{\sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{1} - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 3.9.3

Placez le terme $49$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$0.2 \frac{8 \frac{\sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{1} - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 3.10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$0.2 \frac{8 \frac{\sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{1} - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 3.11

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.11.1

Divisez $\sqrt{1 + 49 \cdot 0}$ par $1$ .

$0.2 \frac{8 \sqrt{1 + 49 \cdot 0} - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 3.11.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.11.2.1

Multipliez $49$ par $0$ .

$0.2 \frac{8 \sqrt{1 + 0} - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 3.11.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$0.2 \frac{8 \sqrt{1} - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 3.11.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$0.2 \frac{8 \cdot 1 - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 3.11.2.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$0.2 \frac{8 - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 3.11.2.5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$0.2 \frac{8 - 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 3.11.2.6

Multipliez $- 245$ par $0$ .

$0.2 \frac{8 - 5 + 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 3.11.2.7

Additionnez $8 - 5$ et $0$ .

$0.2 \frac{8 - 5}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 3.11.2.8

Soustrayez $5$ de $8$ .

$0.2 \frac{3}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 3.11.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.11.3.1

Multipliez $49$ par $0$ .

$0.2 \frac{3}{1 + 0}$

Étape 3.11.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$0.2 (\frac{3}{1})$

Étape 3.11.4

Annulez le facteur commun de $0.2$ .

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Étape 3.11.4.1

Factorisez $0.2$ à partir de $1$ .

$0.2 \frac{3}{0.2 \cdot 5}$

Étape 3.11.4.2

Annulez le facteur commun.

$0.2 \frac{3}{0.2 \cdot 5}$

Étape 3.11.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{5}$

Étape 4

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{0.2 (8 \sqrt{x^{2} + 49} x - 5 x^{2} - 245)}{x^{2} + 49}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 4.1

Placez le terme $0.2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$0.2 lim_{x \to - \infty} \frac{8 \sqrt{x^{2} + 49} x - 5 x^{2} - 245}{x^{2} + 49}$

Étape 4.2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$0.2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{8 \sqrt{x^{2} + 49} x}{x^{2}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 245}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.3

Évaluez la limite.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $8 \sqrt{x^{2} + 49} x$ .

$0.2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x^{2}} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 245}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$0.2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x \cdot x} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 245}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$0.2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x \cdot x} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 245}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$0.2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 245}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$0.2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x} + \frac{- 5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 245}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.3.1.2.2

Divisez $- 5$ par $1$ .

$0.2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x} - 5 + \frac{- 245}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$0.2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x} - 5 - \frac{245}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

$0.2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x} - 5 - \frac{245}{x^{2}}}{1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$0.2 \frac{lim_{x \to - \infty} \frac{8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x} - 5 - \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$0.2 \frac{lim_{x \to - \infty} \frac{8 \sqrt{x^{2} + 49}}{x} - lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.3.5

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$0.2 \frac{8 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 49}}{x} - lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.4

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$0.2 \frac{8 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}} - lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.5

Évaluez la limite.

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Étape 4.5.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$0.2 \frac{8 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{49}{x^{2}}}}{1} - lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.5.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.5.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 4.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$0.2 \frac{8 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{1 + \frac{49}{x^{2}}}}{1} - lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.5.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$0.2 \frac{8 \frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{49}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1} - lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.5.4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$0.2 \frac{8 \frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{49}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1} - lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.5.5

Placez la limite sous le radical.

$0.2 \frac{8 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1} - lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.5.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$0.2 \frac{8 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{49}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1} - lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.5.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$0.2 \frac{8 \frac{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{49}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1} - lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.5.8

Placez le terme $49$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$0.2 \frac{8 \frac{- \sqrt{1 + 49 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1} - lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$0.2 \frac{8 \frac{- \sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 1} - lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.7

Évaluez la limite.

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Étape 4.7.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$0.2 \frac{8 \frac{- \sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{1} - lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.7.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$0.2 \frac{8 \frac{- \sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{1} - 1 \cdot 5 - lim_{x \to - \infty} \frac{245}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.7.3

Placez le terme $245$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$0.2 \frac{8 \frac{- \sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{1} - 1 \cdot 5 - 245 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$0.2 \frac{8 \frac{- \sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{1} - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.9

Évaluez la limite.

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Étape 4.9.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$0.2 \frac{8 \frac{- \sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{1} - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.9.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$0.2 \frac{8 \frac{- \sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{1} - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{49}{x^{2}}}$

Étape 4.9.3

Placez le terme $49$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$0.2 \frac{8 \frac{- \sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{1} - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 4.10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$0.2 \frac{8 \frac{- \sqrt{1 + 49 \cdot 0}}{1} - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 4.11

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.11.1

Divisez $- \sqrt{1 + 49 \cdot 0}$ par $1$ .

$0.2 \frac{8 (- \sqrt{1 + 49 \cdot 0}) - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 4.11.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.11.2.1

Multipliez $49$ par $0$ .

$0.2 \frac{8 (- \sqrt{1 + 0}) - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 4.11.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$0.2 \frac{8 (- \sqrt{1}) - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 4.11.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$0.2 \frac{8 (- 1 \cdot 1) - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 4.11.2.4

Multipliez $8 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 4.11.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0.2 \frac{8 \cdot - 1 - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 4.11.2.4.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$0.2 \frac{- 8 - 1 \cdot 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 4.11.2.5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$0.2 \frac{- 8 - 5 - 245 \cdot 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 4.11.2.6

Multipliez $- 245$ par $0$ .

$0.2 \frac{- 8 - 5 + 0}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 4.11.2.7

Additionnez $- 8 - 5$ et $0$ .

$0.2 \frac{- 8 - 5}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 4.11.2.8

Soustrayez $5$ de $- 8$ .

$0.2 \frac{- 13}{1 + 49 \cdot 0}$

Étape 4.11.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.11.3.1

Multipliez $49$ par $0$ .

$0.2 \frac{- 13}{1 + 0}$

Étape 4.11.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$0.2 (\frac{- 13}{1})$

Étape 4.11.4

Annulez le facteur commun de $0.2$ .

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Étape 4.11.4.1

Factorisez $0.2$ à partir de $1$ .

$0.2 \frac{- 13}{0.2 \cdot 5}$

Étape 4.11.4.2

Annulez le facteur commun.

$0.2 \frac{- 13}{0.2 \cdot 5}$

Étape 4.11.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 13}{5}$

Étape 4.11.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{13}{5}$

Étape 5

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = \frac{3}{5}, - \frac{13}{5}$

Étape 6

Utilisez la division polynomiale pour déterminer les asymptotes obliques. Comme cette expression contient un radical, la division polynomiale ne peut pas être réalisée.

Asymptotes obliques introuvables

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Aucune asymptote verticale

Asymptotes horizontales : $y = \frac{3}{5}, - \frac{13}{5}$

Asymptotes obliques introuvables

Étape 8