Trigonométrie Exemples

${(\sqrt{x} - 9)}^{4} + 1$

Étape 1

Simplifiez ${(\sqrt{x} - 9)}^{4} + 1$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = {\sqrt{x}}^{4} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{4}$ comme $x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$y = x^{\frac{4}{2}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.1.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = x^{\frac{2}{1}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$y = x^{2} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{3}$ comme $\sqrt{x^{3}}$ .

$y = x^{2} + 4 \sqrt{x^{3}} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.3

Factorisez $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 4 \sqrt{x^{2} x} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = x^{2} + 4 (x \sqrt{x}) \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.5

Multipliez $- 9$ par $4$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{\frac{2}{2}} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{\frac{2}{2}} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{1} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.6.5

Simplifiez

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.7

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x \cdot 81 + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.8

Multipliez $81$ par $6$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.9

Élevez $- 9$ à la puissance $3$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x + 4 \sqrt{x} \cdot - 729 + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.10

Multipliez $- 729$ par $4$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x - 2916 \sqrt{x} + {(- 9)}^{4} + 1$

Étape 1.1.2.11

Élevez $- 9$ à la puissance $4$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x - 2916 \sqrt{x} + 6561 + 1$

Étape 1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1

Additionnez $6561$ et $1$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x - 2916 \sqrt{x} + 6562$

Étape 1.2.2

Déplacez $- 36 x \sqrt{x}$ .

$y = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$

Étape 2

Déterminez le domaine pour $y = {(\sqrt{x} - 9)}^{4} + 1$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 2.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 2.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Étape 3

Pour déterminer le point final de l’expression radicale, remplacez la valeur $x$ $0$ , qui est la valeur la plus basse dans le domaine, dans $f (x) = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{2} + 486 (0) - 36 \cdot 0 \sqrt{0} - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 486 (0) - 36 \cdot (0 \sqrt{0}) - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $486$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 36 \cdot (0 \sqrt{0}) - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 36$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 \sqrt{0} - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Étape 3.2.1.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 \sqrt{0^{2}} - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Étape 3.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = 0 + 0 + 0 \cdot 0 - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $0$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Étape 3.2.1.7

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 2916 \sqrt{0^{2}} + 6562$

Étape 3.2.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 2916 \cdot 0 + 6562$

Étape 3.2.1.9

Multipliez $- 2916$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 0 + 6562$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 6562$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6562$

Étape 3.2.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 6562$

Étape 3.2.2.4

Additionnez $0$ et $6562$ .

$f (0) = 6562$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $6562$ .

$6562$

Étape 4

Le point final de l’expression du radical est $(0, 6562)$ .

$(0, 6562)$

Étape 5

Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du point final de l’expression radicale.

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Étape 5.1

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$ . Dans ce cas, le point est $(1, 4097)$ .

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Étape 5.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{2} + 486 (1) - 36 \cdot 1 \sqrt{1} - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Étape 5.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 + 486 (1) - 36 \cdot (1 \sqrt{1}) - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Étape 5.1.2.1.2

Multipliez $486$ par $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 \cdot (1 \sqrt{1}) - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Étape 5.1.2.1.3

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 \sqrt{1} - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Étape 5.1.2.1.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 \cdot 1 - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Étape 5.1.2.1.5

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Étape 5.1.2.1.6

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 - 2916 \cdot 1 + 6562$

Étape 5.1.2.1.7

Multipliez $- 2916$ par $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 - 2916 + 6562$

Étape 5.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.1.2.2.1

Additionnez $1$ et $486$ .

$f (1) = 487 - 36 - 2916 + 6562$

Étape 5.1.2.2.2

Soustrayez $36$ de $487$ .

$f (1) = 451 - 2916 + 6562$

Étape 5.1.2.2.3

Soustrayez $2916$ de $451$ .

$f (1) = - 2465 + 6562$

Étape 5.1.2.2.4

Additionnez $- 2465$ et $6562$ .

$f (1) = 4097$

Étape 5.1.2.3

La réponse finale est $4097$ .

$y = 4097$

Étape 5.2

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$ . Dans ce cas, le point est $(2, 7538 - 2988 \sqrt{2})$ .

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Étape 5.2.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = {(2)}^{2} + 486 (2) - 36 \cdot 2 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Étape 5.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 4 + 486 (2) - 36 \cdot (2 \sqrt{2}) - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $486$ par $2$ .

$f (2) = 4 + 972 - 36 \cdot (2 \sqrt{2}) - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Étape 5.2.2.1.3

Multipliez $- 36$ par $2$ .

$f (2) = 4 + 972 - 72 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.2.2.1

Additionnez $4$ et $972$ .

$f (2) = 976 - 72 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Étape 5.2.2.2.2

Additionnez $976$ et $6562$ .

$f (2) = 7538 - 72 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2}$

Étape 5.2.2.2.3

Soustrayez $2916 \sqrt{2}$ de $- 72 \sqrt{2}$ .

$f (2) = 7538 - 2988 \sqrt{2}$

Étape 5.2.2.3

La réponse finale est $7538 - 2988 \sqrt{2}$ .

$y = 7538 - 2988 \sqrt{2}$

Étape 5.3

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(0, 6562), (1, 4097), (2, 3312.33)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 6562 \\ 1 & 4097 \\ 2 & 3312.33 \end{array}$

Étape 6