Trigonométrie Exemples

${(x + 1)}^{2} + {(v - 4)}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Soustrayez ${(v - 4)}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(x + 1)}^{2} = {(x + 3)}^{2} - {(v - 4)}^{2}$

Étape 1.2

Soustrayez ${(x + 3)}^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - {(v - 4)}^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez $- {(v - 4)}^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Réécrivez ${(v - 4)}^{2}$ comme $(v - 4) (v - 4)$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - ((v - 4) (v - 4))$

Étape 1.3.2

Développez $(v - 4) (v - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v (v - 4) - 4 (v - 4))$

Étape 1.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v \cdot v + v \cdot - 4 - 4 (v - 4))$

Étape 1.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v \cdot v + v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)$

Étape 1.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $v$ par $v$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} + v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)$

Étape 1.3.3.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $v$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 4 \cdot v - 4 v - 4 \cdot - 4)$

Étape 1.3.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 4 v - 4 v + 16)$

Étape 1.3.3.2

Soustrayez $4 v$ de $- 4 v$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 8 v + 16)$

Étape 1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} - (- 8 v) - 1 \cdot 16$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} + 8 v - 1 \cdot 16$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} + 8 v - 16$

Étape 1.4

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.4.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.4.1.1

Ajoutez $v^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} = 8 v - 16$

Étape 1.4.1.2

Soustrayez $8 v$ des deux côtés de l’équation.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v = - 16$

Étape 1.4.1.3

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2

Simplifiez ${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16$ .

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Étape 1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$(x + 1) (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.4.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + 1) + 1 (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.4

Réécrivez ${(x + 3)}^{2}$ comme $(x + 3) (x + 3)$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - ((x + 3) (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.5

Développez $(x + 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.4.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 2 x + 1 - (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.2.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.6.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.6.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.6.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 6 x + 9) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.8

Simplifiez

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Étape 1.4.2.1.8.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16$ .

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Étape 1.4.2.2.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 x + 1 + 0 - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.2.2

Additionnez $2 x + 1$ et $0$ .

$2 x + 1 - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.3

Soustrayez $6 x$ de $2 x$ .

$- 4 x + 1 - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.4

Soustrayez $9$ de $1$ .

$- 4 x - 8 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Étape 1.4.2.5

Additionnez $- 8$ et $16$ .

$- 4 x + v^{2} - 8 v + 8 = 0$

Étape 1.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.1

Soustrayez $v^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x - 8 v + 8 = - v^{2}$

Étape 1.5.2

Ajoutez $8 v$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 x + 8 = - v^{2} + 8 v$

Étape 1.5.3

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$

Étape 1.6

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 1.6.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Étape 1.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 1.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Étape 1.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Étape 1.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{v^{2}}{4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Étape 1.6.3.1.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $- 4$ .

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Étape 1.6.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8 v$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} + \frac{4 (2 v)}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Étape 1.6.3.1.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 v}{- 1}$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - 1 \cdot (2 v) + \frac{- 8}{- 4}$

Étape 1.6.3.1.3

Réécrivez $- 1 \cdot (2 v)$ comme $- (2 v)$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - (2 v) + \frac{- 8}{- 4}$

Étape 1.6.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - 2 v + \frac{- 8}{- 4}$

Étape 1.6.3.1.5

Divisez $- 8$ par $- 4$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - 2 v + 2$

Étape 2

Déterminez les probabilités de la parabole donnée.

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 2.1.1

Complétez le carré pour $- v^{2} + 8 v - 16$ .

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Étape 2.1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = 8$

$c = - 16$

Étape 2.1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 2.1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.1.1.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Étape 2.1.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$d = - 4$

Étape 2.1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 16 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.4.2.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$e = - 16 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e = - 16 - \frac{64}{- 4}$

Étape 2.1.1.4.2.1.3

Divisez $64$ par $- 4$ .

$e = - 16 - - 16$

Étape 2.1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$e = - 16 + 16$

Étape 2.1.1.4.2.2

Additionnez $- 16$ et $16$ .

$e = 0$

Étape 2.1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(v - 4)}^{2} + 0$ .

$- {(v - 4)}^{2} + 0$

Étape 2.1.2

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - {(v - 4)}^{2} + 0$

Étape 2.2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(v - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - 1$

$h = 4$

$k = 0$

Étape 2.3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 2.4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(4, 0)$

Étape 2.5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 2.5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 2.5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.5.3

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 2.5.3.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Étape 2.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 2.6

Déterminez le foyer.

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Étape 2.6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, - \frac{1}{4})$

Étape 2.7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$v = 4$

Étape 2.8

Déterminez la directrice.

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Étape 2.8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 2.8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = \frac{1}{4}$

Étape 2.9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(4, 0)$

Foyer : $(4, - \frac{1}{4})$

Axe de symétrie : $v = 4$

Directrice : $y = \frac{1}{4}$

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(4, 0)$

Foyer : $(4, - \frac{1}{4})$

Axe de symétrie : $v = 4$

Directrice : $y = \frac{1}{4}$

Étape 3