Trigonométrie Exemples

$\frac{y + 1}{y^{2} - 4 y - 12}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ est indéfinie.

$y = - 2, y = 6$

Étape 2

Comme $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ $\to$ $- \infty$ comme $y$ $\to$ $- 2$ depuis la gauche et $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ $\to$ $\infty$ comme $y$ $\to$ $- 2$ depuis la droite, $y = - 2$ est une asymptote verticale.

$y = - 2$

Étape 3

Comme $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ $\to$ $- \infty$ comme $y$ $\to$ $6$ depuis la gauche et $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ $\to$ $\infty$ comme $y$ $\to$ $6$ depuis la droite, $y = 6$ est une asymptote verticale.

$y = 6$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$y = - 2, 6$

Étape 5

$x = \frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ est une équation d’une droite, ce qui signifie qu’il n’y a aucune asymptote horizontale.

Aucune asymptote horizontale

Étape 6

Déterminez l’asymptote oblique par division polynomiale.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Factorisez $y^{2} - 4 y - 12$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 6, 2$

Étape 6.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$

Étape 6.2

Développez $(y - 6) (y + 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y + 1}{y (y + 2) - 6 (y + 2)}$

Étape 6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y + 1}{y \cdot y + y \cdot 2 - 6 (y + 2)}$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y + 1}{y \cdot y + y \cdot 2 - 6 y - 6 \cdot 2}$

Étape 6.2.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $2$ .

$\frac{y + 1}{y \cdot y + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Étape 6.2.5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y + 1}{y \cdot y + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Étape 6.2.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y + 1}{y \cdot y + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Étape 6.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y + 1}{y^{1 + 1} + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Étape 6.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y + 1}{y^{2} + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Étape 6.2.9

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\frac{y + 1}{y^{2} + 2 y - 6 y - 12}$

Étape 6.2.10

Soustrayez $6 y$ de $2 y$ .

$\frac{y + 1}{y^{2} - 4 y - 12}$

Étape 6.3

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y^{2}$

$4 y$

$12$

$y$

$1$

Étape 6.4

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$0 + \frac{y^{2} - 3 y - 11}{y^{2} - 4 y - 12}$

Étape 6.5

L’asymptote oblique est la partie polynomiale du résultat de la division longue.

$y = 0$

Étape 7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $y = - 2, 6$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes obliques : $y = 0$

Étape 8