Trigonométrie Exemples

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 < 0$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \cos (3 x)$ .

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 = 0$

Étape 1.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 1$ plus $6$

$2 \cos^{2} (3 x) + (- 1 + 6) \cos (3 x) - 3 = 0$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\cos (3 x) (2 \cos (3 x) - 1) + 3 (2 \cos (3 x) - 1) = 0$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 \cos (3 x) - 1$ .

$(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

$\cos (3 x) + 3 = 0$

Étape 3

Définissez $2 \cos (3 x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 \cos (3 x) - 1$ égal à $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 \cos (3 x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \cos (3 x) = 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \cos (3 x) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (3 x) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (3 x)$ par $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$3 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{3}$

Étape 3.2.5

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{π}{3}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.5.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{π}{3}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Étape 3.2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Étape 3.2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Étape 3.2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.2.5.3.2

Multipliez $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.2.5.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Étape 3.2.5.3.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{π}{9}$

Étape 3.2.6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$3 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 3.2.7

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.7.1

Simplifiez

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Étape 3.2.7.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 3.2.7.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 3.2.7.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 3.2.7.1.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 3.2.7.1.5

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$3 x = \frac{5 π}{3}$

Étape 3.2.7.2

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{5 π}{3}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.7.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{5 π}{3}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Étape 3.2.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Étape 3.2.7.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Étape 3.2.7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.7.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.2.7.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.2.7.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 3}$

Étape 3.2.7.2.3.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \frac{5 π}{9}$

Étape 3.2.8

Déterminez la période de $\cos (3 x)$ .

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Étape 3.2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.8.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Étape 3.2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 3.2.9

La période de la fonction $\cos (3 x)$ est $\frac{2 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\cos (3 x) + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\cos (3 x) + 3$ égal à $0$ .

$\cos (3 x) + 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\cos (3 x) + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (3 x) = - 3$

Étape 4.2.2

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- 3$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$2 \cos^{2} (3 (1)) + 5 \cos (3 (1)) - 3 < 0$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $- 5.98979219$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$2 \cos^{2} (3 (2)) + 5 \cos (3 (2)) - 3 < 0$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $3.64470539$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$2 \cos^{2} (3 (3)) + 5 \cos (3 (3)) - 3 < 0$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $- 5.8953346$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ Vrai

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ Faux

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ Vrai

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ Vrai

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ Faux

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ Vrai

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ ou $\frac{7 π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{11 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 9