Trigonométrie Exemples

$2 \tan (x) > \sqrt{2}$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $2 \tan (x) > \sqrt{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 \tan (x) > \sqrt{2}$ par $2$ .

$\frac{2 \tan (x)}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \tan (x)}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x > \arctan (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

Évaluez $\arctan (\frac{\sqrt{2}}{2})$ .

$x > 0.6154797$

Étape 4

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = (3.14159265) + 0.6154797$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 + 0.6154797$

Étape 5.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) + 0.6154797$

Étape 5.3

Additionnez $3.14159265$ et $0.6154797$ .

$x = 3.75707236$

Étape 6

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 6.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.6154797 + π n, 3.75707236 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez $0.6154797 + π n$ et $3.75707236 + π n$ en $0.6154797 + π n$ .

$x = 0.6154797 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Déterminez le domaine de $2 \tan (x) - \sqrt{2}$ .

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Étape 9.1

Définissez l’argument dans $\tan (x)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0.6154797 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < 3.75707236$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0.6154797 < x < \frac{π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0.6154797 < x < \frac{π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$2 \tan (1) > \sqrt{2}$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $3.11481544$ est supérieur au côté droit $1.41421356$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < 3.75707236$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < 3.75707236$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$2 \tan (3) > \sqrt{2}$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 0.28509308$ n’est pas supérieur au côté droit $1.41421356$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0.6154797 < x < \frac{π}{2}$ Vrai

$\frac{π}{2} < x < 3.75707236$ Faux

$0.6154797 < x < \frac{π}{2}$ Vrai

$\frac{π}{2} < x < 3.75707236$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0.6154797 + π n < x < \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13